7 svar
105 visningar
cfsilver442 är nöjd med hjälpen
cfsilver442 65
Postad: 26 dec 2022 16:27

Linjär algebra största möjliga vinkel mellan två vektorer

Hej sitter lite fast på denna uppgift: 

 

villkoret gör att deras längd är 1 längdenhet. Jobbar med kvadratiska former i linjär algebra just nu så tog skalärprodukten mellan dem och fick x1x2 + x2x3 + x1x3. Fixade en symmetrisk 3x3 matris med 0:or i huvuddiagonalen och 1/2 på de övriga ställena men vet ej hur jag ska fortsätta. 

Marilyn 3301
Postad: 26 dec 2022 20:16

Jag har inte försökt, men skulle prova att sätta de partiella derivatorna med avs på x1, x2 och x3 till noll. Vad som händer sedan vet jag inte. 

Marilyn 3301
Postad: 26 dec 2022 20:22

Nej, det verkar bara bli nollvektorn. Ingen nytta med det. Passar på denna. 

Marilyn 3301
Postad: 26 dec 2022 20:30

Men om du fixerar första vektorn till (0, 0, 1)?

Marilyn 3301
Postad: 26 dec 2022 20:46

Sorry, det funkar inte heller. Nej, ska jag ta fram Lagranges multiplikatormetod så måste jag ha papper och penna. Jag ger mig. 

D4NIEL 2643
Postad: 26 dec 2022 21:01 Redigerad: 26 dec 2022 21:24

Det finns naturligtvis många sätt att lösa den här uppgiften på, men eftersom du nämner kvadratiska former och linjär algebra väljer vi en metod som bygger på följande sats (och jag citerar fritt ur minnet):

Jullovssats 1.  Låt AA vara en reell symmetrisk matris med minsta egenvärde λmin\lambda_{min} och största egenvärde λmax\lambda_{max}. Då är

λmin||x||2xtAxλmax||x||2\lambda_{min}||x||^2\leq x^tAx\leq \lambda_{max}||x||^2 för alla xx,

och likhet fås omm xx är en egenvektor hörande till egenvärdet λmin\lambda_{min} rep. en egenvektor hörande till λmax\lambda_{max} (eller x0x\equiv\mathbf{0})

Eftersom skalärprodukten u,v=uvcos(θ)=cos(θ)\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)=\cos(\theta) pga u=v=1\|u\|=\|v\|=1 ska vi alltså finna minimum av  f(x1,x2,x3)=u,v=x1x2+x2x3+x3x1f(x_1,x_2,x_3)=\langle u,v\rangle=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 under villkoret x12+x22+x32=1x_1^2+x_2^2+x_3^2=1

Funktionen ff är en kvadratisk form med den matris du angav ovan. Om du bestämmer egenvärden till matrisen kan du sedan med hjälp av Jullovssats 1 bestämma största och minsta värde, tänk på att x2=1\|x\|^2=1

Laguna 29110
Postad: 26 dec 2022 21:05

Prova att kvadrera x1+x2+x3.

PATENTERAMERA 5567
Postad: 26 dec 2022 21:24

Vi hade en liknande fråga för en tid sedan.

Svara Avbryt
Close