3 svar
139 visningar
Qetsiyah Online 3671
Postad: 17 jun 2020

Linjär algebra: vad betyder att den yttre algebran är "en algebra"

Jag har inte sett ordet algebra användas så förrut (bara att det är "studiet av..."),jag läser https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Yttre_algebra

Är "⋀" en funktion som har ett helt vektorrum som argument? Eller är det en binär operation på två vektorer?

dr_lund 1103 – Mattecentrum-volontär
Postad: 17 jun 2020 Redigerad: 17 jun 2020

Kanske inte svar på din fråga.

En algebra över en kropp är ett vektorrum tillsammans med en multiplikations-liknande operation.

Jag sysslade tidigare en del med Lie-algebror.

En liealgebra är, mycket kort,  ett vektorrum V över någon kropp K tillsammans med en binär operation, kallad lie-parentes (lie bracket):

[·,·]:V×VV [ \cdot , \cdot ] : V\times V \mapsto V.

oggih 692 – F.d. Moderator
Postad: 30 jun 2020 Redigerad: 30 jun 2020

Jag håller med dr_lund!

En algebra över en en kropp 𝔽\mathbb{F} kan sägas bestå av fyra bitar data:

  • en mängd AA
  • en additionsoperation +:A×AA+:A\times A\to A
  • en skalningsoperation .:𝔽×AA.:\mathbb{F}\times A\to A
  • en multipklikationoperation :A×AA\star:A\times A\to A,

som tillsammans uppfyller kraven för att (A,+,.)(A,+,.) ska vara ett vektorrum över 𝔽\mathbb{F}, samtidigt som \star ger upphov till en bilinjär avbildning A×AAA\times A\to A, dvs. det gäller att

(x+y)z=xz+yz(x+y)\star z=x\star z+y\star z

x(y+z)=xy+xzx\star (y+z)=x\star y+x\star z

(α.x)(β.y)=αβ.(xy)(\alpha .x)\star (\beta .y)=\alpha\beta .(x\star y)

för alla α,β𝔽\alpha,\beta\in\mathbb{F} och x,y,zAx,y,z\in A.


Det prototypiska exemplet på en algebra är vektorrummet 𝔽n×n\mathbb{F}^{n\times n} (med elementvis addition och skalning) utrustat med matrismultiplikation. (Detta är ett extra najs exempel eftersom multiplikationen kommer vara associativ, och eftersom det finns en multiplikativ identitet, nämligen identitetsmatrisen.)

Vi får en annan algebra om vi återigen utgår från vektorrummet 𝔽n×n\mathbb{F}^{n\times n} men nu i stället låter "multiplikationen" vara matriskommutatorn [.,.]:𝔽n×n×𝔽n×n𝔽n×n[.,.]\colon \mathbb{F}^{n\times n}\times \mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}^{n\times n} definierad av [X,Y]=XY-YX[X,Y]=XY-YX (som i någon mening "mäter" hur långt två matriser är ifrån att kommutera med varandra). Det är en nyttig övning att verifiera att [.,.][.,.] är bilinjär, så att detta verkligen ger oss en algebra!

Sidenote: Notera också att kommutatorn inte kommer vara associativ (kan du hitta ett motexempel?). Den ger heller inte upphov till något multiplikativt identitetselement... Men den har andra trevliga egenskaper! Mer precist är det en Lie-algebra (det är därför jag använde samma hakparentes-notation som i dr_lund:s inlägg).


Det du frågar om är den yttre algebran Λ(V)\mathrm{\Lambda}(V) för ett vektorrum VV. Jag vet inte exakt hur de konstruerade den i din bok, men väldigt löst uttryckt kan Λ(V)\mathrm{\Lambda}(V) sägas vara mängden av alla godtyckligt långa (men ändliga!) "ord" av vektorer på formen v1vkv_1\wedge \cdots \wedge v_k för v1,,vkVv_1,\ldots,v_k\in V, där vi har identifierat element (på samma sätt som när vi diskuterade tensorprodukter) på ett sådant vis att

  • \wedge-symbolerna "beter sig multilinjärt" (exempelvis vill vi att v1(v2+v2')v3=v1v2v3+v1v2'v3v_1\wedge (v_2+v_2')\wedge v_3=v_1\wedge v_2\wedge v_3+v_1\wedge v_2'\wedge v_3 ska gälla),
  • ett ord sätts lika med 0 om två identiska vektorer förekommer bredvid varandra.

Det är rätt enkelt att se att detta blir ett vektorrum under addition och skalning av de här linjärkombinationer. Och vi kan dessutom göra det till en algebra genom att införa en multiplikationsoperation :Λ(V)×Λ(V)Λ(V)\wedge\colon \mathrm{\Lambda}(V)\times \mathrm{\Lambda}(V)\to \mathrm{\Lambda}(V), som definieras genom "ihopsättning av ord". Mer precist kan vi sätta

(v1vk,w1w)=v1vkw1w,\wedge(v_1\wedge \cdots \wedge v_k,w_1\wedge \cdots \wedge w_\ell)=v_1\wedge \cdots \wedge v_k\wedge w_1\wedge \cdots \wedge w_\ell\,,

och sedan utvidga bilinjärt (man måste så klart kolla så att detta ger en väldefinierad operation).

oggih 692 – F.d. Moderator
Postad: 30 jun 2020 Redigerad: 30 jun 2020
Qetsiyah skrev:

Är "⋀" en funktion som har ett helt vektorrum som argument? Eller är det en binär operation på två vektorer?

Det är lite som med \otimes-symbolen! Som vi konstaterade i din tråd om tensorer så finns det flera användningsområden:

  • Den kan användas för att beteckna tensorprodukten av två vektorrum (då föredrar jag symbolen 𝔽\otimes_{\mathbb{F}}, där 𝔽\mathbb{F} är kroppen man jobbar över).
  • Den kan användas för att beteckna elementen som spänner upp tensorprodukten.
  • Dessutom används det för att beteckna multiplikationsoperationen i den så kallade tensoralgebran för ett vektorrum (som du kanske redan har stött på eller kommer att söta på; den är snäppet enklare att förstå än den yttre algebran!).

På motsvarande vis kan \wedge både användas för beteckna den yttre algebran av ett vektorrum (då föredrar jag symbolen Λ\mathrm{\Lambda}), för att beteckna elementen som spänner upp Λ(V)\mathrm{\Lambda}(V) och för att beteckna multiplikationsoperationen i den yttre algebran Λ(V)\mathrm{\Lambda}(V).


Sidenote: Är Λ\mathrm{\Lambda} en funktion? Nja, "domänen" som består av alla vektorrum är för stor för att vara en mängd, så ska man vara mängdteoriskt renlärig borde man nog akta sig för att använda funktionsbegreppet här. Men eftersom du nämnde tidigare att du är nyfiken på kategoriteori, så kan jag meddela att vi har något mycket bättre än en sketen funktion här! Vi har i stället en så kallad funktor från kategorin Vect𝔽\mathrm{Vect}_{\mathbb{F}} av vektorrum över 𝔽\mathbb{F} till kategorin Alg𝔽\mathrm{Alg}_{\mathbb{F}} av algebror över 𝔽\mathbb{F}.

Det betyder inte bara att den tar varje vektorrum till en algebra, utan att den tar en linjär avbildning ψ:VW\psi\colon V\to W mellan vektorrum till en algebrahomomorfi Ψ:Λ(V)Λ(W)\mathrm{\Psi}\colon \mathrm{\Lambda}(V)\to\mathrm{\Lambda}(W) (definierad genom att sätta Ψ(v1vk)=ψ(v1)ψ(vk)\mathrm{\Psi}(v_1\wedge \cdots\wedge v_k)=\psi(v_1)\wedge \cdots \wedge\psi(v_k) och utvdiga linjärt), på ett sådant sätt att identitetsavbildningen och sammansättning av avbildningar respekteras.

Exakt varför detta är viktigt är det kanske inte läge för att ta upp här och nu, men om du är nyfiken på funktorbegreppet kan du kanske titta på den här videon (som jag länkade i en annan tråd för ett tag sedan), där en av de mest klassiska exemplen på en funktor diskuteras, nämligen fundamentalgruppen som är en funktor från kategorin av topologiska rum (tekniskt sett: topologiska rum med utvalda punkter) och kategorin av grupper.

Svara Avbryt
Close