Linjär Algebra, Vektorer och punkter

Finns det några $\alpha och \beta$sådana att ekvationen $\overrightarrow{PS}=\alpha \overrightarrow{PQ}+\beta \overrightarrow{PR}$ blir uppfylld? Då ligger S i planet.

I så fall, vad måste vidare gälla för α och β för att S skall ligga i triangeln?

PATENTERAMERA skrev:

Finns det några $\alpha och \beta$sådana att ekvationen $\overrightarrow{PS}=\alpha \overrightarrow{PQ}+\beta \overrightarrow{PR}$ blir uppfylld? Då ligger S i planet.

I så fall, vad måste vidare gälla för α och β för att S skall ligga i triangeln?

Jag har redan fått fram att S ligger i planet genom att sätta in den i planets ekvation.
Sedan så vet jag inte vad det är som definierar att en punkt är inne i en triangel i samma plan så jag vet inte vad som gäller för a och b.

Philipbja skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Finns det några $\alpha och \beta$sådana att ekvationen $\overrightarrow{PS}=\alpha \overrightarrow{PQ}+\beta \overrightarrow{PR}$ blir uppfylld? Då ligger S i planet.

I så fall, vad måste vidare gälla för α och β för att S skall ligga i triangeln?

Jag har redan fått fram att S ligger i planet genom att sätta in den i planets ekvation.
Sedan så vet jag inte vad det är som definierar att en punkt är inne i en triangel i samma plan så jag vet inte vad som gäller för a och b.

Om du räknar ut $\alpha och \beta$ så borde det vara så att S ligger i triangeln om $\alpha ,\beta \ge 0$ och $\alpha +\beta \le 1$. 

Rita en figur och använd lite matematisk/geometrisk intuition.

PATENTERAMERA skrev:

Låt oss anta att vi har hittat värden på $\alpha och \beta$, sådana att

$\overrightarrow{PS}=\alpha \overrightarrow{PQ}+\beta \overrightarrow{PR.}$

Vi kan nu skriva om detta uttryck med hjälp av de Chasles relation

$\overrightarrow{PS}=\alpha \overrightarrow{PQ}+\beta (\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})=(\alpha +\beta )\overrightarrow{PQ}+\beta \overrightarrow{QR.}$

Genom att betrakta geometrin i figuren ovan inses att ett krav för att S skall ligga i triangeln är att

$0\le \alpha +\beta \le 1$     (1), vi antar i det följande att detta är uppfyllt.

Det inses vidare att ett ytterligare krav är

$0\le \beta \le \frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\overrightarrow{QR}\right|}$    (2).

Likformformiga trianglar ger oss vidare att

$\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{(\alpha +\beta )\left|\overrightarrow{PQ}\right|}=\frac{\left|\overrightarrow{QR}\right|}{\left|\overrightarrow{PQ}\right|} \Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=(\alpha +\beta )\left|\overrightarrow{QR}\right|$.

Olikheten (2) kan därför skrivas

$0\le \beta \le \alpha +\beta$, och vi noterar vidare att $\beta \le \alpha +\beta \iff 0\le \alpha .$

Således kan vi sammanfatta det hela så att S ligger i triangeln om $\alpha , \beta \ge 0 och \alpha +\beta \le 1.$ QED