9 svar
122 visningar
Andreas Wartel är nöjd med hjälpen
Andreas Wartel 24
Postad: 2 jul 17:55 Redigerad: 2 jul 17:56

Linjär avbildning

Bestäm matrisen A för den linjära avbildning T:R3R3T:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^3 som definieras av att vektorn uu först avbildas på v×uv\times u där v=(-5,2,5)v=(-5,2,5) och sedan speglas i planet x=zx=z, (positivt orienterat ON-system). Bestäm också determinanten till AA.

Har lite svårt att förstå vad som menas här. Jag tänker att det första som händer är att någon vektor u=(x,y,z)u=(x,y,z) bildar vektorprodukten med vv, e1(2z-5y)-e2(-5z-5x)+e3(-5y-2x)e_{1}(2z-5y)-e_{2}(-5z-5x)+e_{3}(-5y-2x), som kan skrivas som 0-52505-2-50xyz\begin{pmatrix} 0 & -5 & 2 \ 5 & 0 & 5 \ -2 & -5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}

Sen blir jag osäker, jag ska spegla i planet x=zx=z men det är väl en linje? 

Hur som helst tänkte jag att 1000-10001\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} torde vara en spegling i xz-planet? Men 1000-100010-52505-2-50\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -5 & 2 \ 5 & 0 & 5 \ -2 & -5 & 0 \end{pmatrix} ger mig inte rätt matris.

PATENTERAMERA Online 3604
Postad: 2 jul 18:25

Det är ett plan. Du kan skriva ekvationen som x + 0y - z = 0. Dvs en normerad normalvektor n^ ges av

n^=1210-1.

Andreas Wartel 24
Postad: 3 jul 12:28

Tack! Jag kan förstå idén med att skriva ett plan genom att skalärprodukten mellan normalvektorn och någon vektor som löper från normalvektorns rot till en punkt i planet, ska bli noll, och jag ser att x + 0y - z = 0 är ett resultat av att skriva så. SAMTIDIGT förstår jag inte riktigt eftersom om jag väljer x = 1 så måste jag välja z = 1, x = 2 och z = 2 och så vidare, det vill säga bara punkter i en linje?? 

D4NIEL Online 838
Postad: 3 jul 13:10 Redigerad: 3 jul 14:12

Det är sant att x=z är en linje i xz-planet. Men du får också välja vilket värde du vill på y-koordinaten. Så för punkten x=z=1x=z=1 kan du alltså välja y=-3y=-3 eller y=12y=12 eller y=0y=0 eller ...

Om du vill kan du se det som att planet har två basvektorer, en utmed b1=(1,0,1)\mathbf{b}_1=(1,0,1) och en utmed b2=(0,1,0)\mathbf{b}_2=(0,1,0). Nu når du alla punkter i planet med r(s,t)=sb1+tb2\mathbf{r}(s,t)=s\mathbf{b}_1+t\mathbf{b}_2

Ett annat sätt att beskriva planet är som du själv påpekar att använda normalekvationen.

Andreas Wartel 24
Postad: 3 jul 15:33

Ah! Tack så mycket!! Så självklart egentligen

Andreas Wartel 24
Postad: 3 jul 16:09 Redigerad: 3 jul 16:12

Jag får ändå inte till siste delen av problemet ovan. Jag har fått fram matrisen för v×uv \times u som är  0-52505-2-50 \begin{pmatrix}   0 & -5 & 2 \\5&0&5\\-2&-5&0\end{pmatrix}. Den rätta matrisen med spegling i xz-planet ska vara -2-505050-52\begin{pmatrix}-2&-5&0\\5&0&5\\0&-5&2\end{pmatrix}\ och för att få den kan jag skriva 0010101000-52505-2-50\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -5 & 2 \\5&0&5\\-2&-5&0\end{pmatrix}.

Men jag förstår inte hur 001010100\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} kan vara en spegling i xz-planet. Är inte en spegling i xz-planet av en vektor (x,y,z)(x, y, z) (x,-y,z)(x,-y,z)? I så fall borde speglingsmatrisen vara 1000-10001xyz=x-yz\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\\z\end{pmatrix}?

 

Min initiala approach var att från punkten jag kommer till efter v×uv \times u\, dvs (-5y+2z,5x+5z,-2x-5y)(-5y+2z,5x+5z,-2x-5y), gå i planets normalriktning, (12,0,-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -1) tills jag kommer till xz-planet. Om jag bara fortsätter lika långt till i den riktningen blir väl det en spegling i xz-planet? Är det här en gångbar strategi? 

PATENTERAMERA Online 3604
Postad: 3 jul 17:34 Redigerad: 3 jul 17:35

Det är inte frågan om spegling i xz-planet. Det är en spegling i planet x + 0y - z = 0.

Med den normalvektor som jag beskrev tidigare så ges speglingens matris av

I - 2n^n^T = 100010001-10-110-1=001010100.

Andreas Wartel 24
Postad: 3 jul 22:34

Tack, förstår nu om planet, bara för att y-koefficienten är noll betyder ju inte det att vi inte kan välja y-värden. Tror det var där jag fastnade. 

Det sista du skrev förstår jag inte, att I-2n^n^tI-2\hat{n}\hat{n}^t ger speglingens matris. Finns det kanske någon litteratur ni kan hänvisa till?

D4NIEL Online 838
Postad: 3 jul 22:58 Redigerad: 3 jul 23:02

Spegling av en punkt p0p_0 får man genom att från punkten dra 2 gånger projektionen på normalen, dvs det jag tror du beskriver i inlägg #6

F(p0)=p0-2n·p0||n||2n\displaystyle F(p_0)=p_0-2\frac{\mathbf{n}\cdot p_0}{||\mathbf{n}||^2}\mathbf{n}

Patenteramera har skrivit om det som en matris, eftersom (p0·n)=nTp0(p_0\cdot \mathbf{n})=n^Tp_0 kan vi lösa ut p0p_0 och skriva om det som 

 (I-2||n||2nnT)p0\displaystyle  (I-\frac{2}{||\mathbf{n}||^2}nn^T)p_0

PATENTERAMERA Online 3604
Postad: 4 jul 00:22

Säg att vi vill spegla vektorn p i planet. Efter spegling får vi vektorn p'.

Planets ekvation kan skrivas n^x = 0.

Vi börjar med att hitta ett värde på t så att vektorn p+tn^ ligger i planet (se figur). För detta krävs att

n^•(p+tn^) = 0, vilket ger t = -n^p.

Resultatet av speglingen blir då (se figur) p' = p + 2tn^ = p - 2(n^p)n^ = p-2(n^Tp)n^ = I-2n^n^Tp.

Säg till om något var oklart.

Svara Avbryt
Close