Linjär avbildning - ange en formel för u_n som funktion av n

Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Jag har kommit en bit på väg:

Matrisen till den linjära avbildningen F är

$A=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$.

En triangulär matris har egenvärdena som diagonal, vilket gör att 4, 1 är elementen vi söker. Eftersom vi har två olika egenvärden vet vi att diagonalisering är möjlig.

...

Jag har utifrån egenvärdena tagit fram två egenvektorer.

Egenvektor 1: $\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$

Egenvektor 2: $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

Koordinaterna för $u_1=(7, 2)$och dessa kan vi tänka på som en kolonnmatris $\left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right].$

...

Vi vet att $A=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 1& 1\end{array}\right].$

$A = TD{T}^{-1}$ där T:s kolonner utgörs av egenvektorerna, $T=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$,  inversen av  T = $T^{-1 }=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right]$ och slutligen 

D  är diagonalmatrisen $D= \left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$

 

Alltså har vi att $\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 1& 1\end{array}\right].$

Nu vill vi ha reda på $A^n$. Vi byter då ut D mot $D^n=\left[\begin{array}{cc}{4}^n& 0\\ 0& 1^n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{4}^n& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.

 

Vi får att $A^n=$$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}{4}^n& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{4}^n& 0\\ \frac{4^n-1}{3}& 1\end{array}\right].$

Om jag nu tänkt rätt så ska $A^n$nu multipliceras med kolonnmatrisen som utgörs av koordinaterna för $u_1, dvs \left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right].$

$\left[\begin{array}{cc}{4}^n& 0\\ \frac{4^n-1}{3}& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{4}^n·7\\ \frac{(4^n-1)·7}{3}+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{4}^n·7\\ \frac{(4^n·7-7)+6}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{4}^n·7\\ \frac{4^n·7-1}{3}\end{array}\right]$...

Men koordinaterna ska inte vara som jag skrivit ovan, det rätta svaret är

$\left[\begin{array}{c}{4}^{n-1}·7\\ \frac{(4^{n-1}·7-1)}{3}\end{array}\right]$

De två elementen i matrisen är alltså koordinaterna framför $e_1$och $e_2$ i  $u_n=.......e_1 + ........e_2.$

Vad är det som jag har missat? Varför ska exponenten vara n-1?

Jag är medveten om att jag inte redovisat allt mitt arbete med uppgiften, så fråga gärna.

Tacksam för svar :-)