Linjära avbildning

Fråga: får jag pity-points för detta försök?

Är jag elak om jag säger nej? Diagonalmatrisen blir 4x4, daja!

$\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$. 

Annars såhär: $Av=\lambda v$ för alla egenvektorer. Det innebär att:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{T}^{2}v=(-1{)}^{2}v\\ T^{2}v=0^{2}v \\ {T}^{2}v=1^{2}v \\ {T}^{2}v=2^{2}v\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vilka av dessa avbildas på sig själva?

4*4 med rang 3 eller hur?

Vad ska man svara då, att delrummet som har lambda = 0 och lambda = 1 avbildas på sig själv?

lambda = 0 avbildas inte på sig själv, den trycks ihop till ingenting. Däremot lambda = 1 och -1 uppfyller detta. De spänner tillsammans (de är oberoende) upp ett plan, där alla vektorer avbildas på sig själva. Det är allt man behöver bevisa. 

aha, så det var $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$? Vad om jämna potenser?

(förlåt, nu måste jag verkligen speeda på processen hemma så jag svarar troligen imorgon)

Nej, diagonalmatrisen blir $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$, och produkten blir då $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$. 

Ooooooh ..nu märker jag ... att .... jag läste i ${\mathrm{ℝ}}^2$ istället... för $T^2$...

ooooh... that's why --'.

Tack igen, super bra förklarat som vanligt <: !

Varsågod! :)