Linjärt beroende/oberoende (linjär algebra)
Hej,
Man ska i upg 5.8 använda resultatet i 5.3f) för att direkt avgöra om de tre vektroerna u = (1,2,-1), v = (1,3,0) och w = (0,2,2) spänner upp .
Resultatet i 5.3f) visar att vektorerna är linjärt beroende. Alltså spänner de enligt teorin inte upp . Dock undrar jag varför det blir såhär när det trots allt finns lika många vektorer n som . Vi vet sedan tidiagre att detta innebär att en entydig lösning i ett homogent systen (0,0,0). Alltså bör de vara linjärt oberoende.
Tacksam hjälp!
Det räcker inte att ha 3 vektorer för att spänna upp R3.
Att spänna upp R3 betyder att du kan uttrycka vilken vektor som helst med dina 3 vektorer.
Kan du uttrycka (2,5,0) med dina u,v och w? Nej, det går inte, just därför att de inte är oberoende.
Macilaci skrev:Det räcker inte att ha 3 vektorer för att spänna upp R3.
Att spänna upp R3 betyder att du kan uttrycka vilken vektor som helst med dina 3 vektorer.
Kan du uttrycka (2,5,0) med dina u,v och w? Nej, det går inte, just därför att de är inte oberoende.
Jag kan se framför mig varför de inte spänner någon volym; det saknas ju en z-koordinat i (2,5,0) och de andra två ligger i samma plan. Men hur förklarar man då att dessa egenskaper (att spänna bas, spänna R^n och vara linjärt oberoende) gäller för alla n vektorer i ? Enligt den teorin borde det också råda i det här fallet. Dessutom räcker det visst med 3 vektorer för att spänna , men det krävs att de är oberoende. Kan man på något sätt algebraiskt visa att den nollte koordinaten ställer till det?
Använd determinanten.
Tror du har fattat fel från början. Inget av det där gäller för alla n vektorer i Rn
Dracaena skrev:Använd determinanten.
Jag är på ett föregående kapitel där har man ännu inte introducerat determinant, men intressant!
Micimacko skrev:Tror du har fattat fel från början. Inget av det där gäller för alla n vektorer i Rn
Det står så explicit i boken; eller det är åtminstone hur jag tolkar detta stycke:
''För n vektorer i är följande egenskaper ekvivalenta:
1. De utgör en bas för .
2. De är linjärt beroende.
3. De spänner upp .
Jag tror att det är jag som har tolkat det fel. Stycket handlar alltså om n vektorer i . För att finnas i måste de till att börja med spänna upp R^n. Nu är det plant eftersom två av vektorerna är pararella och den tredje (som är oberoende linjärt) saknar z-koordinat. Alltså fnns de inte i R^n.
Blåvalen skrev:Micimacko skrev:Tror du har fattat fel från början. Inget av det där gäller för alla n vektorer i Rn
Det står så explicit i boken; eller det är åtminstone hur jag tolkar detta stycke:
''För n vektorer i är följande egenskaper ekvivalenta:
1. De utgör en bas för .
2. De är linjärt beroende.
3. De spänner upp .
Du har skrivit av detta fel, på nummer 2 borde det stå att det är linjärt oberoende.
Du missförstår vad detta betyder. Det står INTE att alla dessa tre saker ALLTID gäller för n vektorer i R^n. Det står att de tre egenskaperna är ekvivalenta. Dvs, om man vet att en av egenskaperna är uppfyllda vet man att även de två andra egenskaperna uppfyllda. Exempelvis, om man vet att n stycken vektorer i R^n utgör en bas för R^n så vet man också per automatik att de är linjärt oberoende och spänner upp R^n. På samma sätt, om du kan visa att n vektorer i R^n är linjärt oberoende, ja då har du också per automatik visat att de är en bas för R^n och spänner upp R^n. Det omvända gäller också; om vi visar att n stycken vektorer är linjärt BEROENDE har du också automatiskt visat att de INTE är en bas för eller spänner upp R^n.
Så, det du skrivit ovan säger alltså inte att n stycken vektorer har dessa tre egenskaper, utan det säger att antingen har de alla tre egenskaperna, eller så har de ingen av egenskaperna.
