Linjeintegral av vektorfält

destiny99 skrev:

Nu står det inte explicit vilken parameterframställning man ska välja. 

Jo! Det står uttryckligen i uppgiften (a) att man skall beräkna integralen längs kurvan som paramtriserats med $u \mapsto (\cos u, \sin u, u)$, d.v.s. en helix

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Nu står det inte explicit vilken parameterframställning man ska välja. 

Jo! Det står uttryckligen i uppgiften (a) att man skall beräkna integralen längs kurvan som paramtriserats med $u \mapsto (\cos u, \sin u, u)$, d.v.s. en helix

Okej, men hur tolkar man just längs kurvan och hur kan det kopplas till man ska använda trigonometrisk parametrisering rent intuitivt? För det första vet jag inte hur denna kurva symboliserar en helix och vad menas med en helix?  Däremot är jag med på att punkterna P och Q kan man skissa i xyz koordinatsystemet 

Så här ser en helix ut:

Helixen ÄR kurvan du ska integrera längs. De har givit dig en parametrisering redan i förväg så att du slipper klura själv över hur du skulle parametrisera denna. Att få kurvan i kartesiska koordinater hade inte varit roligt och inte pedagogiskt i ett illustrativt exempel.

Ett bra sätt att föreställa sig kurvintegraler på är med kraft och arbete ur fysiken. Som man lärde sig på gymnasiet gäller det att $W = F \Delta r$, där $\Delta r$ är förflyttningen vi har gjort och $F$ är kraften under färden. Denna definition fungerar då kraften är parallell med förflyttningen, då kraften är konstant och då förlyttningen är rätlinjig. Men ponera nu att kraften anges av något godtyckligt kraftfält $\mathbf{F}(x,y,z)$ samt att förflyttningen INTE är rätlinjig och konstant parallell med kraften, utan att vi rör oss längs någon godtycklig kurva $\gamma$. Hur ska man beräkna arbetet då?

Jo, det vi gör då är att vi parametriserar $\gamma$ på något sätt. Låt oss anta att $\gamma$ låter sig parametriseras av $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$ där $t\in [a,b]$.

Anta vidare att vi gör ett infintesimalt inkrement $d\mathbf{r}$ längs vår kurva $\gamma$. Då ges arbetet över denna infinitesimala förflyttnig av $dW=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r}$, där $\cdot$ är den vanliga skalärprodukten.

Vi har i allmänhet att $\displaystyle d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt$ och således:

$\displaystyle W=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t=a}^{t=b}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\frac{d \mathbf{r}}{dt}dt$