linjeintegraler av vektorfält

Vad man gör här är att man inser att vektorfältet $\mathbf{F}$ är ett så kallat konservativt vektorfält (potentialfält). Det kan man se genom att beräkna vektorfältets rotation, $\nabla\times\mathbf{F}$ (eller $\text{rot}\ \mathbf{F}$), och visa att den blir noll:

$\text{rot}\ \mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\mathbf{F}_x&\mathbf{F}_y&\mathbf{F}_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\x+y&x-z&z-y\end{vmatrix}=...=0$

Att ett vektorfält har rotationen innebär även att det finns ett skalärfält $\mathbf{U}$ sådant att dess gradient är lika vektorfältet $\mathbf{F}$, d.v.s.

$\nabla\mathbf{U}=\mathbf{F}$

eller ekvivalent:

$\dfrac{\partial\mathbf{U}}{\partial x}=\mathbf{F}_x=x+y$

$\dfrac{\partial\mathbf{U}}{\partial y}=\mathbf{F}_y=x-z$

$\dfrac{\partial\mathbf{U}}{\partial z}=\mathbf{F}_z=z-y$

Detta fält $\mathbf{U}$ kan bestämmas med hjälp av de tre differentialekvationerna ovan. Skalärfältet $\mathbf{U}$ kan jämföras med en primitiv funktion i envariabelfallet. Det går nämligen att beräkna en kurvintegral mellan två punkter $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ som en skillnad i potentialfunktionen $\mathbf{U}$:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{U}\left(\mathbf{b}\right)-\mathbf{U}\left(\mathbf{a}\right)$

Här finns att läsa om potentialfält och kurvintegraler genom dem:

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1626/POTENTIALER.pdf