Lnx alltid primitiv funktion till 11/x

Derivatan av $\ln x=\frac{1}{x}$där x>0 så det är väl ganska logiskt, men som vanligt när vi integrerar så måste vi ta hänsyn till att det kan finnas en konstant som har försvunnit i deriveringen. Därav + C.

Men hur blir det då med alla värden då x=0 och x<0 x/0är ju inte möjligt inga reella röster men hur blir det med x<0

Visa att derivatan av ln$\left|x\right|$ blir 1/x.

Tips: $\left|x\right|=\sqrt{x^2}$.

RisPris skrev:

Men hur blir det då med alla värden då x=0 och x<0 x/0är ju inte möjligt inga reella röster men hur blir det med x<0

x<0 har man ju garderat för genom absoluttecknet runt x och noll får vi inte ha som du konstaterat.

Om du vill visa att det stämmer för negativa tal också så sätt in -x istället för |x| och derivera med kedjeregeln.

PATENTERAMERA skrev:

Visa att derivatan av ln$\left|x\right|$ blir 1/x.

Tips: $\left|x\right|=\sqrt{x^2}$.

Va hur är absolut beloppet samma sak som hl och hur hjälper detta?

Micimacko skrev:

Om du vill visa att det stämmer för negativa tal också så sätt in -x istället för |x| och derivera med kedjeregeln.

Deriverar man lnkx funktioner med kedjeregeln?

Om du har något annat än x i ln så är det en funktion i en annan funktion. Då kan du alltid använda kedjeregeln.

RisPris skrev:

Micimacko skrev:

Om du vill visa att det stämmer för negativa tal också så sätt in -x istället för |x| och derivera med kedjeregeln.

Deriverar man lnkx funktioner med kedjeregeln?

Det var inget dum fråga varför skriver du däremot absx?

RisPris skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa att derivatan av ln$\left|x\right|$ blir 1/x.

Tips: $\left|x\right|=\sqrt{x^2}$.

Va hur är absolut beloppet samma sak som hl och hur hjälper detta?

$\sqrt{3^2}=3=\left|3\right|$
$\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=3=\left|-3\right|$, osv.

Va? Vilken fråga skulle vara dum? Och jag tog |x| från uppgiften, eller hur menar du?

Micimacko skrev:

Va? Vilken fråga skulle vara dum? Och jag tog |x| från uppgiften, eller hur menar du?

Lnkx är dumma frågan. wow jag har verkligen en tendens att skippa ord, tecken och begrepp när jag läser frågor såg inte absx i funktionen

Pentametrar jag hänger inte med hur det hjälper mig med uppgiften då jag sätter jag in det i funktionen kommer jag ju inte längre. Deriverar jag ln rotx^2 ju rot x^2 1 och lnu blir 1/x? Det ger ju samma sak… vänta nu hänger jag inte ens med vad jag gör själv

$\frac{d}{dx}\left(ln\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\frac{d{x}^2}{dx}$ = $\frac{1}{2x^2}2x=\frac{1}{x}$.

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{d}{dx}\left(ln\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\frac{d{x}^2}{dx}$ = $\frac{1}{2x^2}2x=\frac{1}{x}$.

Jag hänger inte med, vad händer efter första likhetstecknet, sedan var kommer 2x i från efter näst sista likhetstecknet?

Det är kedjeregeln här också, använd 2 gånger.

Micimacko skrev:

Det är kedjeregeln här också, använd 2 gånger.

Yes men jag ser inte inre derivatan. Yttre derivatan blir då lnu,  Inre blir då? u: ursprungliga funktion kedjeregeln förklarar väl inte 2x?

Lager 1: ln x

Lager 2: rot(x)

Lager 3: x^2

Derivera alla och se om du ser vad som händer sen

Jag använder kedjeregeln upprepade gånger.

Sätt u = $\sqrt{x^2}$.

$\frac{d}{dx}\left(ln\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{d}{dx}\left(lnu\right)$ = $\frac{dlnu}{du}\frac{du}{dx}$ = $\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$.

Sätt v = x².

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{v}\right)$ = $\frac{d\sqrt{v}}{dv}\frac{dv}{dx}$ = $\frac{1}{2\sqrt{v}}\frac{dv}{dx}$ = $\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\frac{d{x}^2}{dx}$ = $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$.

Man kan nog visa det åt andra hållet också, att integralen av 1/x = ln(abs(x))+C betyder ju att derivatan av ln(x) = 1/x +C, så visar man att derivatan av ln(x) = 1/x +C har man visat det åt andra hållet. 

Jag tycker dock du borde försöka förstå PATENTERAMERAs lösningsförslag, väldigt fin lösning! :)

Dracaena skrev:

Man kan nog visa det åt andra hållet också, att integralen av 1/x = ln(abs(x))+C betyder ju att derivatan av ln(x) = 1/x +C, så visar man att derivatan av ln(x) = 1/x +C har man visat det åt andra hållet. 

Jag tycker dock du borde försöka förstå PATENTERAMERAs lösningsförslag, väldigt fin lösning! :)

Förlåt, jag menar ju klart att man kan visa att integralen av 1/x är ln(abs(x))+c, 

ln(1/x)=ln(x^(-1))=-ln(x), sätt u=-ln(x), e^u=1/x, x=1/e^u.. osv. Jag tycker dock det är betydligt enklare att visa att derivatan av lnx = 1/x men, det går ju. :)

PATENTERAMERA skrev:

Jag använder kedjeregeln upprepade gånger.

Sätt u = $\sqrt{x^2}$.

$\frac{d}{dx}\left(ln\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{d}{dx}\left(lnu\right)$ = $\frac{dlnu}{du}\frac{du}{dx}$ = $\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$.

Sätt v = x².

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2}\right)$ = $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{v}\right)$ = $\frac{d\sqrt{v}}{dv}\frac{dv}{dx}$ = $\frac{1}{2\sqrt{v}}\frac{dv}{dx}$ = $\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\frac{d{x}^2}{dx}$ = $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$.

1. Har försökt att förstå mig på, men kör fast vid två tillfällen första av de två olika likhetstecken serierna förstår jag inte slutet hur fungerar den där d/dx*rotx^2 jag har aldrig set d/dx vad betyder det och vad gör du.

Sedan deriverar du rotx^2 men här kör det fast igen i sista stegen, vad är dx^2/dx varför gör du det ? Sedan har jag inte riktigt förstått varför du sätter in dx^/dx i istället för d/dx rotx^2

Det är bara ett alternativt sätt att beteckna derivering. Det är dock bra att känna till eftersom den används flitigt i många sammanhang.

$\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)$ = $\frac{df\left(x\right)}{dx}$ = f’(x).

Således är $\frac{d{x}^2}{dx}$ helt enkelt derivatan av x² vilket vi vet blir 2x, eller hur?

Om du är obekväm med denna notation så utnyttja den notation som du känner till och gör beviset med den. Bra övning på kedjeregeln.

Sätt

f(x) = lnx

g(x) = $\sqrt{x}$

w(x) = x²

h(x) = f(g(w(x))) = $ln\left(\sqrt{x^2}\right)$

h’(x) = f’(g(w(x))$·$(g(w(x))’ = f’(g(w(x)))$·$g’(w(x))$·$w’(x).