Logik och mängder

Jag tycker också att varje delmängd till de naturliga talen har ett minsta element.

Vad säger facit?

Nollmängden är väl en delmängd?

Ah, sant!

1. För att en mängd ska ha ett minsta element krävs är den är icke-tom.

2. I N har alla icke-tomma delmängder ett minsta element.

3. Mängden av alla heltal mindre än 5 är en icke-tom delmängd av Z utan något minsta element.

4.  6 är ett minsta element i mängden av heltal större än eller lika med 6.

5. I mängden {1} är 1 minsta element.

6, Ett största/minsta element till en mängd M definieras som en majorant/minorant tillhörande M. Om det finns ett största/minsta element så är detta unikt.

Tomten skrev:

1. För att en mängd ska ha ett minsta element krävs är den är icke-tom.

2. I N har alla icke-tomma delmängder ett minsta element.

3. Mängden av alla heltal mindre än 5 är en icke-tom delmängd av Z utan något minsta element.

Så Z har inte ett minsta element för att elementen kan vara allt från ±oändlighet? Medan för N är det endast mot oändlighet och därför finns det ett minsta element i en delmängd?

Har jag förstått rätt?

Varje icke-tom delmängd till $\mathbb{N}$ har ett minsta element. Tomma mängden är en delmängd till alla mängder, även de naturliga talen, och den är som namnet förtäljer tom.

Okej, men är inte {1} en delmängd av N? Den har väl inget minsta eller största element och den är icke tom.

Jo, {1} är en delmängd till de naturliga talen och har både största och minsta element. Elementet 1 är störst och minst samtidigt. Varför? Jo, låt oss fundera på vad det innebär att "vara störst" eller "vara minst". Vi kan skapa följande villkor:

$\displaystyle y\text{ är största elementet i } S\equiv\forall x\in S:x\le y$

$\displaystyle y\text{ är minsta elementet i } S\equiv\forall x\in S: y\le x$

Om du håller med om dessa definitioner håller du även med om att $1$ är både störst och minst samtidigt då $S=\{1\}$.

Jo, men y kan väl inte vara mindre- och större än x samtidigt. Om vi sätter att y i detta fall är 1 så kan inte 1 vara större- och mindre än x.

Nej men det kan vara större än eller lika med $x$ eller mindre än eller lika med $x$ samtidigt.

Okej, det är sant. Då är jag med. Tack!