Lokala extrempunkter i intervallets ändpunkter?

Jag har en fråga kring definitionen av lokala extrempunkter. Jag har använt mig av några olika läromedel (Origo 3C, Vidma och Eddler) när jag har pluggat kring optimeringsproblem. Jag har då upplevt att förklaringen kring lokala extrempunkter skiljt sig en hel del åt.

Om vi har ett slutet intervall [a,b] definierar en del lokala extrempunkter såhär:

f'(x)=0 i en punkt då x ligger i intervallet [a,b] <=> punkten är en lokal extrempunkt

De har även varit tydliga med att det krävs att man kan jämföra punkten från två olika håll, samt att funktionsvärdet till ett lokalt extremvärde är det största/ minsta värdet i närheten.

Min fråga gäller ändpunkterna i ett slutet intervall. Vad jag har förstått kan de räknas som globala extremvärden och därmed tolkas som största/ minst värde i intervallet, men inte lokala extrempunkter. Enligt det jag har läst kan de inte definieras som lokala extrempunkter t.f.a. f'(a) är skiljt från 0 i den punkt där x=a, samt att de inte kan undersökas från både höger och vänster. Om jag inte misstar mig har jag läst att dessa punkter inte är stationära punkter, utan randpunkter. Samtidigt har jag läst i min mattebok (Origo 3C) att ändpunkterna visst räknas som lokala extremvärden om de ingår i intervallets definitionsmängd.

Stämmer detta? Jag är tacksam om någon har någon ytterligare input att dela med sig av :)

Den definition av extrempunkt som jag känner till är att en funktion $f:[a,b]\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ har en extrempunkt i $c\in[a,b]$ om $f^\prime(c) = 0$ .

En extrempunkt kan antingen vara ett lokalt maximum, ett lokalt minimum eller en terasspunkt. Lokala maxima och minima kan också vara globala maxima och minima. Notera att funktionens största eller minsta värde inte måste vara en extrempunkt. Dess globala maximum eller globala minimum kan mycket riktigt vara en av randpunkterna (alltså $x=a$ eller $x=b$ ).

Vi kan formulera detta som en sats:

Sats. Låt $\displaystyle f:[a,b]\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vara en deriverbar funktion. Då antar $\displaystyle f$ sitt största och minsta värde antingen i punkter där $\displaystyle f^\prime \left(x\right) =0$ , eller i randpunkterna.

Tillägg: 3 nov 2026 16:58

Notera dock att det inte finns något krav att man ska kunna komma från "två håll" för att $f^\prime$ ska existera. En derivata kan definitivt existera i randpunkterna också och kan vara noll där (vilket skulle göra randpunkten till en extrempunkt). Så som satsen ovan är formulerad är $f$ deriverbar i randpunkterna enligt antagande. Det här med att gränsvärden måste vara samma "från båda håll" gäller bara inre punkter. Mer generellt ska gränsvärdet vara samma "från alla möjliga håll", och för och en endimensionell funktion (en oberoende variabel) med ett slutet intervall $[a,b]$ som definitionsmängd finns det ju bara ett håll att närma sig randpunkterna från.

Tillägg: 3 nov 2026 17:39

Eftersom jag förväntar mig lite motstånd gällande huruvida derivatan kan existera i en randpunkt vill jag kort diskutera definitionen av gränsvärdet. Detta är stor överkurs för Ma3.

Låt $f$ vara en funktion med definitionsmängd $D$ . I så fall är definitionen av gränsvärdet att

$\displaystyle \left[\lim_{x\to a}f\left(x\right)=L\right]:=\forall \varepsilon>0:\exists\delta >0:\forall x\in D: 0<\left|x-a\right|<\delta\Longrightarrow \left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$

Notera att kvantifikationen här är $\forall x \in D$ . Om $D=[a,b]$ är funktionen inte definierad till höger om $x=b$ eller till vänster om $x=a$ .

Svara