Lokalt extremvärde för x=0

Lokala extrempunkter är matte 3 från gymnasiet. Hur mycket lutar kurvan när den går genom en extrempunkt?

I lösningsförslaget (som jag finner mycket rörigt och inte riktigt förstår) så ser det ut som dom använder formeln för Maclaurin till tredje graden samt restterm i femte grad. 

Ser nu att en del av ekvationen i mitt första inlägg hoppat bort, rättar till det så kanske det förändrar en hel del :) 

Hm, jag kanske missar något, men jag hade bara kört på och deriverat! Tittar dock gärna på lösningsförslaget.

Aha, tjusigt! Så idén är att approximera funktionen med ett polynom (som du hintade om). Då är det alltså sinusfaktorn som byts ut via Maclaurin. När $(2x+x^2)^3$ utvecklas behöver man bara hålla reda på lägstagradstermen, $(2x)^3 = 8x^3$, för de andra kommer bli av minst grad 5 när x:et utanför den stora parentesen multipliceras in. Och grad 5 och uppåt bakas in i resttermen.

Resultatet blir att funktionen beter sig som en negativ fjärdegradskurva kring origo (notera att om x är nära noll så blir $x^5$ betydligt mindre än $x^4$, därför är det $x^4$ som dominerar över resttermen). Och den fjärdegradskurvan har alltså ett max i origo, som ritat.

Hm...jag både förstår och förstår inte.
Jag förstår inte exempelvis $2x+x^2-\frac{2x+x^2}{3!}$, hur kommer hela 2x+x^2  in där? Hur kan 2x+x^2 stå där även helt oderiverad? 

Hur ser MacLaurinpolynomet för sin(x) ut?

Jag förstår vad du menar, men det är inte så mystiskt egentligen. Maclaurinutvecklingen visar att funktionen sin(x) kan skrivas så här:

$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \ldots$

Om det där är sin(x), vad är då $\sin(2x + x^2)$? Vi har alltså redan ett polynom som beräknar "sinus av" något tal. Talet vi vill beräkna sinus av är $2x + x^2$, så då sätter vi in det i polynomet:

$\sin(2x + x^2) = (2x + x^2) - \dfrac{(2x + x^2)^3}{3!} + \dfrac{(2x + x^2)^5}{5!} - \ldots$