Lös ekvationen
Hejsan!
Uppgiften lyder - Lös ekvationen
Sin2x=cosx
Jag är medveten om att vi först måste få bort antingen cosx eller sin2x, så att det blir t.ex. sin2x=sinx.
Problemet är att jag är osäker på hur jag ska göra, möjligtvis är det några formler som jag inte hittar?
Men t.ex. sin2x=2sinxcosx, men med detta kan vi väl inte fortsätta?
Tattman skrev:
Men t.ex. sin2x=2sinxcosx, men med detta kan vi väl inte fortsätta?
Jo, det är en bra början. Skriv lite tydligare, bara. Det är en bra vana att alltid skriva funktionsargumentet inom parentes (även om inte ens alla läroböcker gör det alltid...)
Din ekvation blir alltså
Kommer du vidare nu?
med så blir
annars kan du också använda dig av
Bubo skrev:Tattman skrev:Men t.ex. sin2x=2sinxcosx, men med detta kan vi väl inte fortsätta?Jo, det är en bra början. Skriv lite tydligare, bara. Det är en bra vana att alltid skriva funktionsargumentet inom parentes (även om inte ens alla läroböcker gör det alltid...)
Din ekvation blir alltså
Kommer du vidare nu?
Du har så rätt, det gör allting lite lättare, och nej, varken lärobok eller formelbok skriver det tydligare än vad jag gjort (med vissa undantag).
Eftersom det är 2•sin(x)•cos(x) så kan ja ju inte ta minus på båda sidorna, men jag kan väl ta dividerat med cos(x)? Då kvarstår ju endast 2•sin(x)=1?
Det känns som att jag kanske tågat iväg litet nu?
Ja, det verkar bra.
Är det tillåtet att dela med cos(x)?
Nu förstar jag inte vad du menar, men jag tror att det är fel att göra så. Efter att vi formulerat om uppgiften lite så ska den beräknas också.
Svaret på uppgiften skall bli x=π/6 + n • 2π/3 eller
X=π/2 + n • 2π
Detta tyder ju på att jag gjort nånting fel? Antagligen har jag missat någon formel eller missuppfattat någon.
Att dela med cos(x) är farligt, eftersom cos(x) är 0 för vissa värden på x.
Bättre att subtrahera cos(x) i bägge led, då får du
0 = 2sin(x)cos(x)-cos(x)
om du bryter ut cos(x) i HL kan du sedan lätt hitta lösningarna
Nej då, du tänker rätt.
Du får ju fram att sin(x) skall vara 1/2, så det gäller "bara" att hitta alla x som gör att det stämmer.
Vinkeln pi/6 hittar du nog rätt fort, och så kan du ju vrida ytterligare hur många hela varv som helst: x = pi/6 + N*2*pi
En annnan vinkel hittar du nog också (plus N*2*pi för hur många hela varv som helst)
Dessutom: Man får aldrig dela med noll. Vad betyder det, i det här fallet? Får du alltid dela med cos(x) ?
Vad är HL förkortning för?
Men okej, då har vi 2•sin(x)=0
Sin(x)=sin(x+n•2π) men med detta kommer vi väl inte till korrekt svar häller, men jag hittade en rekursionsformel som jag missat förut nu, som lyder.
Cosx=sin((π/2)-x)
Med andra ord så kan vi få.
Sin(2x)=sin((π/2)-x)
= 2x=(π/2)-x+n•2π
Detta ser ju ut att möjligtvis bli rätt, jag ska räkna och hör av mig pånytt.
Tattman skrev:
Men okej, då har vi 2•sin(x)=0
Nej, 2*sin(x) = 1 kom vi fram till nyss.
Jag skriver igen: Nu ska du "bara" hitta alla x så att sin(x) = 1/2 (...och så var det det där med att dela med noll...)
Sin(2x)=sin((π/2)-x)
= 2x=π/2 -x +n•2•π
3x=π/2 +n•2•π |÷3
X=π/6 +n•(2π/3)
Eller
2x=π/2 -(-x)+n•2•π
X=π/2+n•2•2
Är det någonting som jag skrivit fel på något sätt?
Annars tackar jag för hjälpen 😊
Det där är en utmärkt lösning. (Allra sista raden har ett skrivfel, 2 i stället för pi)
Min variant: Det andra värdet på x som ger sin(x) är pi - pi/6, alltså 5pi/6.
Divisionen med cos(x) är inte tillåten om cos(x) är noll. När man specialstuderar just det fallet, ser man att ekvationen faktiskt gäller, för vänsterledet är någonting gånger cos(x), och högerledet är cos(x). I specialfallet blir alltså ekvationen "noll är noll", och det stämmer.
Cos(x) är noll för x = pi/2 + N*2*pi och x= -pi/2 + N*2*pi
Vi får lösningarna
x=pi/6 + N*2*pi
x= 5pi/6 + N*2*pi
x = -pi/2 + N*2*pi
x = pi/2 + N*2*pi
De första tre lösningsserierna kan skrivas som x=pi/6 + N*2*pi/3 Kanske inte helt självklart, men rita och se!
Tusen tack för att ni orkar förklara också!
