12 svar
56 visningar
Elias93 120
Postad: 10 jan 2019 Redigerad: 10 jan 2019

lös linjära diffarensialekvationer

Hej!

Jag gör ett avsnitt om hur man löser linjära Diff ekvationer m.h.a. integrerande faktor. Föra avsnittet var om separabla Diff ekvationer. Uppgift 3 var y'=y-x . Jag hittar inget sätt att skriva det på formen y'+P(x)y=Q(x) för y-x kan inte skrivas som x*y .Om jag hanterar det som en separabel ekvation kan jag visserligen få y på ena sidan oxh x på andra, men inte ydy utan dy-y så det blir också fel.  Jag funderade på P(x)=1, då vore I(x)=e^x, men det leder till en rätt svår integral.

 

Mvh

Laguna 4989
Postad: 10 jan 2019

Duger inte P(x) = -1?

Jag skulle först lösa y'-y = 0 och sedan hitta en partikulärlösning till y'-y = -x.

Elias93 120
Postad: 10 jan 2019

Jag provar P(X)=-1

 

Metoden med =0 verkar svårare, vi lär ska lära oss den senare i samband med 2 grads diff-ekvationer.

y'-y=0y'-y=0 Skriv om det till y'=yy'=y. Visst har du lärt dig lösa sådana diffekvationer? Vad är det för ekvation som är lika med sin egen derivata?

Elias93 120
Postad: 10 jan 2019

 facit säger x+1+C*e^-x Varifrån får de minuset framför x? Primitiv funktion till -1 är ju -x så då borde e^-x vara i nämnaren.

Elias93 120
Postad: 10 jan 2019
Smaragdalena skrev:

y'-y=0y'-y=0 Skriv om det till y'=yy'=y. Visst har du lärt dig lösa sådana diffekvationer? Vad är det för ekvation som är lika med sin egen derivata?

 Tack, jag har hört om detta i samband med populationsdynamik inte noterat hur man löser själva diff ekvationerna. Ser enkelt ut.

Elias93 120
Postad: 10 jan 2019

Hur får jag bort - från e^-x så jag skriva det som i facit?

Albiki 3943
Postad: 10 jan 2019

Hej!

Din differentialekvation y'(x)=y(x)-xy'(x) = y(x)-x är samma sak som ekvationen

    y'(x)-y(x)=-x.y'(x)-y(x) = -x.

Multiplicera ekvationens båda led med den integrerande faktorn e-xe^{-x} för att få ekvationen

    e-xy'(x)-e-xy(x)=-xe-xe^{-x}y'(x)-e^{-x}y(x)=-xe^{-x}

som du också kan skriva som

    (e-xy(x))'=-xe-xe-xy(x)=C-xe-xdx.(e^{-x}y(x))' = -xe^{-x}\iff e^{-x}y(x) = C - \int xe^{-x}\,dx.

Albiki 3943
Postad: 10 jan 2019

Med partiell integration kan integralen bestämmas.

   xe-xdx=-xe-x+e-xdx=-xe-x-e-x=-e-x(1+x)\displaystyle\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx = -xe^{-x}-e^{-x} = -e^{-x}(1+x)

vilket ger lösningarna till din differentialekvation.

    y(x)=Cex+1+x.y(x) = Ce^{x}+1+x.

Albiki 3943
Postad: 10 jan 2019

Kontrollera att funktionerna y(x)=Cex+1+xy(x) = Ce^{x}+1+x uppfyller din differentialekvation.

    y'(x)=Cex+1y'(x) = Ce^{x}+1 och y(x)-x=Cex+1+x-x=Cex+1.y(x)-x = Ce^{x}+1+x-x = Ce^{x}+1.

Beräkningarna visar att derivatan y'(x)y'(x) är lika med funktionen y(x)-x.y(x)-x.

Elias93 120
Postad: 11 jan 2019

det är bara sista steg jag inte förstår, annars gjorde jag ju samma. Varför Ce^x och inte C/e^-x

Laguna 4989
Postad: 11 jan 2019
Elias93 skrev:

det är bara sista steg jag inte förstår, annars gjorde jag ju samma. Varför Ce^x och inte C/e^-x

Det är ju samma sak. a-b=1ab.

Elias93 120
Postad: 11 jan 2019

ah ok jag är van att göra det åt andra hållet. Tack för hjälpen

Svara Avbryt
Close