29 svar

264 visningar

Lös olikheten 1/X < 2x - 1

Hej! Försöker lösa denna:

1/X < 2x - 1

Jag tänkte:

1/X < 2x - 1

1/X - 2x + 1 < 0

(1 - 2x² + X)/X < 0 (gör så att jag får 0 på ena sidan)

-2x² + X + 1 = 0

-2(x² + X/2 + 1/2) = 0 (löser ut 2 ut täljaren)

X² + X/2 + 1/2 = 0

(X + 1/4)² = - 1/2 + 1/16

(X + 1/4)² = (-8 +1)/16

(X + 1/4)² = -9/16

√(X+1/4)²= √-9/16 (men då blir det ju negativt under rottecknet:(?

Hejhej! skrev:
Hej! Försöker lösa denna:

1/X < 2x - 1

Jag tänkte:

1/X < 2x - 1

1/X - 2x + 1 < 0

(1 - 2x² + X)/X < 0 (gör så att jag får 0 på ena sidan)

Rätt. Du har fortfarande en olikhet.

-2x² + X + 1 = 0

Nja, det där stämmer för likheten. För olikheten som du skall lösa gäller det att komma ihåg att du nu har multiplicerat med x, utan att veta vilket tecken x har.

-2(x² + X/2 + 1/2) = 0 (löser ut 2 ut täljaren)

Teckenfel.

X² + X/2 + 1/2 = 0

(X + 1/4)² = - 1/2 + 1/16

(X + 1/4)² = (-8 +1)/16

Teckenfel (men föregående rad var inte rätt)

(X + 1/4)² = -9/16

√(X+1/4)²= √-9/16 (men då blir det ju negativt under rottecknet:(?

Rita så du ser ungefär hur det ser ut.

Tack för svar! nu har jag rättar teckenfelen då blir det:

-2(x² - X/2 - 1/2) = 0

X²- X/2 - 1/2 = 0

(X - 1/4)² = 1/2 + 1/16

(X - 1/4)² = 9/16

√(X - 1/4)² = √9/16

X - 1/4 = + - 3/4

X = (1 + - 3)/4

X1 = 1

X2= -1/2

Alltså borde ekvationen kunna skrivas:

(-2(X-1)(X + 1/2))/X < 0

Teckenschema:

-1/2. 0. 1

------------------------------------------------------

-2. -. -. -. -. -. -. -

X + 1/2 - 0. + +. +. + +

X - 1 -. -. -. -. -. 0. +

----------------------------------------------------------

R(X). -. 0. +. Ej def. +. 0. -

Olikheten borde stämma då:

X< -1/2 eller då X > 1

Facit säger att olikheten stämmer då : -1/2 < X < 0 eller X > 1

Vad händer med olikheten när du delar med x?

På vilken rad?

Du har missat en sak, exakt vad jag sade att "det gäller att komma ihåg".

Hejhej! skrev:
På vilken rad?

Om du multiplicerar (eller dividerar) en olikhet med ett negativt tal så måste du vända på olikhetstecknet, annars blir det fel.

Exempel:

-2x < 6

Om du nu dividerar båda sidor med-2 så kommer det att stå x till vänster och -3 till höger. Eftersom du dividerar med ett negativt tal så måste du vända på olikhetstecknet, så olikheten blir alltså x > -3.

Är du med på det?

========

Problemet din lösning är att du multiplicerar med x utan att veta om x är ett positivt eller ett negativt tal. Du kan hantera detta genom att dela upp lösningen i två olika fall: x < 0 och x $\geq$ 0 och lösa ut x separat i de båda fallen.

Juste tack:)

Tack! Hur kommer det sig att man måste vända på olikhetstäcknet när man dividerar med ett negativt tal?

Jag förstår inte hur ni menar att jag ska göra?:(

Fyra är större än två. Fyra är längre från noll än två.

Men om vi multiplicerar med-1 gäller det att -4 är mindre än -2. Fortfarande "längre från noll", men vi måste vända tecknet när vi multiplicerar med ett negativt tal.

Ah ok tack! då förstår jag den delen:)

Du sade som sagt att det gäller att komma ihåg att jag har multiplicerat med X, utan att veta vilket tecken X har för tecken och sedan sade Yngve att jag kunde testa 2 fall: X < 0 & X >= 0. Från vilken rad ska jag göra det?

Hejhej! skrev:
Tack! Hur kommer det sig att man måste vända på olikhetstäcknet när man dividerar med ett negativt tal?

Du kan även se det så här:

Exempel:

-2x < 6

Addera 2x till båda sidor:

0 < 6+2x

Subtrahera 6 ftpn båda sidor:

-6 < 2x

Dividera med 2:

-3 < x

Hejhej! skrev:
... jag kunde testa 2 fall: X < 0 & X >= 0. Från vilken rad ska jag göra det?

Härifrån:

$\frac{(1-2x^2+x)}{x}<>$

Multiplicera nu bägge sidor med $x$ , men dela upp i två fall.

Fall 1 $x > 0$ :

$1-2x^2+x<>$

(och så vidare)

Fall 2 $x\leq0$ :

Eftersom $x\leq0$ måste vi vända på olikhetstecknet:

$1-2x^2+x>0$

(och så vidare)

Okej tack! Hur kommer det sig att man just tar x =< 0 & X > 0 istället för X >= 0 & X < 0, kan man välja hur man vill göra eller spelar det roll hur man gör på den delen?

Hejhej! skrev:
Okej tack! Hur kommer det sig att man just tar x =< 0 & X > 0 istället för X >= 0 & X < 0, kan man välja hur man vill göra eller spelar det roll hur man gör på den delen?

Fel av mig, du bör i allmänhet behandla x = 0 som ett tredje fall.

Detta eftersom att om du multiplicerar en olikhet med 0 så förlorar du all information om både VL och HL. Och du får ju heller inte dividera med 0.

Men i din uppgift så kan du redan från början konstatera att x = 0 inte är en tillåten lösning eftersom VL då blir odefinierat.

Sedan kan du gå vidare och dela upp lösningen i de två delarna x > 0 och x < 0.

Okej! Nu har jag gjort så här:

Fall 1, X > 0:

1-2x² + X < 0

-2(x² - 1/2 - X/2) < 0

X² - 1/2 - X/2 < 0

(X - 1/4)² < 1/2 + 1/16

√(X - 1/4)² < √(9/16)

X - 1/4 < 3/4

X < (1 + - 3)/4

X1 < 1

X2 < -1/2

Fall 2, X < 0:

1-2x2 + X > 0

-2(x2 - 1/2 - X/2) > 0

X2 - 1/2 - X/2 > 0

(X - 1/4)2 > 1/2 + 1/16

√(X - 1/4)2 > √(9/16)

X - 1/4 > 3/4

X > (1 + - 3)/4

X1 > 1

X2 > -1/2

Har jag gjort rätt så långt?

Du bryter ut -2 och dividerar sedan olikheten med det. Då ska du vända på olikheten.

Om du hade ritat hade du sett själv att resultatet inte stämmer.

Ah ok tack! vet dock inte hur jag ska rita upp det?:( När jag ritar i miniräknaren om jag skriver in andragradsekvationen x² - 1/2 - X/2 får jag att x1= -5 & x2= 1

Men om jag skulle ha vänt på olikhetstäcknet när jag dividerat 0 borde jag bara ha gjort ett fall?

-2(x²- 1/2 - X/2) < 0

X² - 1/2 - X/2 > 0

(X - 1/4)² < 9/16

√(X-1/4)² < √9/16

X - 1/4 < + - 3/4

X < (1 +-3)/4

X1 < 1

X2 < -1/2

$\frac{1}{x} < 2 x - 1$

Först antar vi att x är positivt. Då kan vi multiplicera bägge led med x (ett positivt tal) och får

$1 < 2 x^{2} - x$ som är samma sak som $2 x^{2} - x - 1 > 0$ med lösningarna x>1 och x<-(1/2)

Den första lösningen går ju bra, men den andra funkar inte alls. Olikheten (den vi själva skrev) gäller ju BARA för positiva x. Vi har hittat x>1 som stämmer, men inget annat.

Sedan antar vi att x är negativt. Då kan vi multiplicera bägge led med x (ett negativt tal) och får $1 > 2 x^{2} - x$

Vi söker alla x som löser den olikheten - men godkänner bara de x som verkligen är negativa.

Ah ok tack!! Att de sedan har satt intervallet -1/2 < X < 0 antar jag att de tagit 0 då ekvationen ej blir definierad då X= 0 och sedan som du sa -1/2< X för att de är det är det som är tillåtet när X är negativt?

Som vanligt kan det vara en bra metod att rita upp situationen. För vilka värden på x ligger den röda linjen under den blå?

Ah ok tack!:) Men vilken grad är det du ritar upp?

Om jag ritar y = 1/X - 2x + 1 får jag en annan graf

Hejhej! skrev:
Ah ok tack!:) Men vilken grad är det du ritar upp?

Det är en bra fråga, och dessutom är det en jättebra övning att själv svara på frågan.

Den blå grafen är en rät linje, så den tror jag att du hittar ekvationen till ganska lätt.

Den röda grafen tror jag också att du kan klura ut ekvationen till.

Jo det är sant!:) Den blåa tror jag blir:

Y = kx + m

m-värdet ser ut att vara -1

Alltså

Y = kx - 1

Jag väljer koordinaterna (1,1) & (0,-1)

K = delta(X)/delta(y)

K = (1-0)/(1-(-1)) = 1/2

Y = 0,5x - 1

Vilket ser rimligt ut när jag ritar upp det. Men den röda vet jag inte hur man ska göra för att räkna ut?

Slarvfel på den blå.

Ah ok tack! Ser dock inte var?

dy/dx, inte dx/dy.

Tack! Känns som längesen jag gjorde det här förlåt🙈

K = (1-(-1)/(1-0) = 2

Y =2x - 1

Hur kan jag tänka för att lista ut den andra?

Hela den här tråden går ju ut på att jämföra 2x-1 med någonting... :-)

🤦🤦🤦 förlåt dum fråga🙈 tack för tålamodet iallafall nu är jag med:)

Svara Avbryt

Visa senaste svar