Lösa dubbelintegral genom byte till polära koordinater

Du kan byta ordningen lite hur som helst men du kan behöva nya gränser isåfall. dx dy är ju fortfarande samma sak som dy dx, så när du genomför variabelbytet kommer nya areaelementet att bli r dr dθ. Sen integrerar du som vanligt.

$dydx$ är väl inte samma sak som $dxdy$? Här rör det väl sig inte om vanlig multiplikation utan om "wedge multiplication"?

Hmm. Är inte med på vad du menar med "wedge multiplication".

Tänker på p-former och så vidare. Så som jag förstår det så har man en egen typ av multiplikation just för differentialer i flervarren:

$dy \wedge dx$

Det är väl just detta som gör att man inte bara hipp som happ kan byta plats på sina differentialer?

Jag vet inte vad p-former är för något...

Blir lite osäker nu, jag har inte sett något sådant tidigare. Att ändra dy dx till dx dy innebär att man byter integrationsordningen. Resultatet kommer fortfarande bli det samma oavsett vilken ordning vi väljer att integrera. Jag har inte stött på något sånt om diffirentialer tidigare, kanske finns något specialfall jag inte känner till.

Areaelementet dA ges av att vi multiplicerar längdelementen dy och dx. Ordningen vi multiplicerar de spelar ingen roll, vi kommer få areaelementet dA i alla fall. 

Men när vi säger att "arean" ges av dxdy, där dx är bredden och dy är höjden av en rektangel, är väl det mest slarvig notation? Egentligen existerar det ju inga "dy" och "dx" bland de reella talen.

Det jag menar är att dxdy omöjligen kan vara samma sak som dydx i den typiska bemärkelsen, för om vi byter ordning i multiplikationen måste vi också modifiera integrationsgränserna. Det innebär ju att de inte är samma sak.

naytte skrev:

Men när vi säger att "arean" ges av dxdy, där dx är bredden och dy är höjden av en rektangel, är väl det mest slarvig notation? Egentligen existerar det ju inga "dy" och "dx" bland de reella talen.

Det jag menar är att dxdy omöjligen kan vara samma sak som dydx i den typiska bemärkelsen, för om vi byter ordning i multiplikationen måste vi också modifiera integrationsgränserna. Det innebär ju att de inte är samma sak.

Någon annan får nog svara på det här och gå in mer i detalj eftersom jag inte kan. Jag vet bara att det går att tänka på det här sättet och att det funkar. Men att förstå varför det fungerar är ju en annan femma, vilket jag tyvärr inte kan svara på.

Men ja, jag håller med om att dx dy och dy dx inte är samma sak eftersom de påverkar integrationsordningen. Resultatet kommer däremot inte att påverkas om vi kör dy dx eller dx dy. Variabelbytet kommer fortfarande att ge areaelementet dA = r dr dθ.

Okej, tack ändå!

Jag hade en lång utläggning med ChatGPT om detta men LLMs är ju som bekant rätt usla på matematik. För t.ex. i Stokes sats så måste man ta hänsyn till detta, att ett byte av ordning ger ett teckenbyte, så det verkar ju relevant här också.

Har inte heller sett något liknande i Stokes sats. Du syftar inte på att värdet ändras beroende på vilken orientering kurvan har, alltså om man rör sig medsols eller motsols?

Jag måste ta och läsa på om det här igen. Har en gång i tiden kunnat det men känner ju att mycket kunskap har gått förlorad. Ska nog läsa om grundläggande ingenjörsmatten man kör på universitet: diff/int-kalkyl, linjär algebra, flervarre och se till att det sitter den här gången haha.

Här är en tråd som verkar diskutera exakt detta:

https://math.stackexchange.com/questions/1568021/where-does-the-wedge-product-arise-in-the-definition-of-an-integral

Är för trött för att fortsätta nu ikväll men ska kolla igenom imorgon. Förhoppningsvis kan någon ge lite insikt i detta :D

God natt!

Tog och kollade på tråden och det dem nämner på slutet om Jacobianen kan vara relevant. Det är ju den transformeringen man använder sig av för att få areaelementet i ett annat koordinatsystem. Den kanske tar hänsyn till integrationsordningen på något sätt och löser det hela.

Jag tror jag kom till lite av en insikt idag. Skriver här så jag inte glömmer skriva sen.

Anledningen till att jag blev så förvirrad var att man i denna integralen fritt kan ändra integreringsordningen, medan det i andra integraler inte kan göras utan förbehåll. Jag tänkte specifikt på denna integral:

$\displaystyle I_1=\int_{0}^{3}\int_{0}^{x^2}xy^2dydx$

Det finns dock två saker att reda ut här. För det första är $y$ i vårt fall en beroende variabel. Dessutom är hela $I_1$ skrivet med notationsmissbruk. Rent strikt bör integralen skrivas:

$\displaystyle I_1=\int_{0}^{3}\left(\int_{0}^{x^2}xy^2dy \right)dx$

Det betyder med andra ord att det inte existerar något objekt som "$dydx$" i vårt fall; det förekommer ingen multiplikation av differentialer alls. Vi kan alltså ändra integreringsordningen om vi vill, MEN vi måste då ta hänsyn till att $y$ beror av $x$ enligt $y=x^2$.

Detta problem fanns inte i integralen:

$\displaystyle I_2=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{3}r^4\cos\theta dr \right)d\theta$

Anledningen till att man här fritt kan ändra ordningen av integralerna är att $r$ och $\theta$ inte beror av varandra; det spelar ingen roll om man låter den yttre integralen löpa över $r$ eller $\theta$. Att de är oberoende av varandra innebär också att gränserna inte behöver ändras.

Jag vet inte hur jag inte kom att tänka på detta igår kväll, för nu känns det helt uppenbart. Men när man är trött tänker man ofta dåligt!

Detta förklarar dock inte vad i hela friden man sysslar med när man skriver om differentialer med hjälp av Jacobideterminanten. Det mejkar extremt lite sense att skriva $dxdy=rd\theta dr$, för det finns inget "$dxdy$" i integralen egentligen.

Bra insikt! Kan dock inte kommentera så mycket på jacobianen, minns inte hur den fungerar.

Jag funderade vidare en del och man kan ju skriva upp differentialerna som totala differentialer:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}dx(r,\theta)=\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x }{\partial \theta}d\theta=dr\cos\theta-rd\theta\cos\theta\\dy(r,\theta)= \frac{\partial y}{\partial r}dr +\frac{\partial y}{\partial \theta}d\theta=dr\sin\theta +rd\theta\cos\theta&\end{array}\right.$

Om vi stoppar in detta i vår nästlade dubbelintegral får vi:

$\displaystyle \int_{C_1}\left(\int_{C_2}\left(x^3+xy^2\right)dy \right)dx=\int_{C_1}\left(\int_{C_2}\left(r^3\cos\theta\right)\left(dr\sin\theta +rd\theta\cos\theta\right) \right)\left(dr\cos\theta-rd\theta\cos\theta\right)$

Om vi utvecklar integranden i den inre integralen får vi:

$\displaystyle =\int_{C_1}\left(\int_{C_2}\left(r^3\cos\theta\sin\theta dr+r^4\cos^2\theta d\theta\right) \right)dx=\int_{C_1}\left(\int_{C_2}\left(r^3\cos\theta\sin\theta\right)dr+\int_{C_2}\left(r^4\cos^2\theta\right)d\theta\right)dx$

$\displaystyle =\int_{C_1}\left[\left(\frac{1}{8}r^4\sin 2\theta+\frac{1}{2}r^4\left(\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right)\right)\right]_{C_2} \left(dr\cos\theta-rd\theta\cos\theta\right)$

Men här tar det stopp. Jag vet inte hur man ska hantera att vi måste beräkna integranden längs en kurva.

Det är dock intressant att:

$\displaystyle dxdy=\sin\theta\cos\theta dr^2+r\cos^2\theta drd\theta-r\sin^2dr d\theta-r^2\sin\theta\cos\theta d\theta^2\approx rdrd\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\approx rdrd\theta$

om vi försummar differentialer av högre än grad 1 (de kommer ändå försvinna i integreringen).

Vi har dock att:

$dx \wedge dy = rdr \wedge d\theta$

:/

Blir lite förvirrad av detta. Det verkar som man använder samma notation för massa olika grejer.

Det blir nästan lite som i fysiken där man istället för att använda andra symboler använder en symbol för tre olika saker.

Fick äntligen ett svar på frågan!!

I ett uttryck som:

$\displaystyle \int_{\Omega}f\left(x,y\right)dxdy$

har vi att $dxdy := |dy\wedge dx|$. Detta är inte multiplikation i sig, utan notation. Fördelen med denna notation är dock att vi kan utnyttja kommutativitet som i vanlig multiplikation, ty absolutbeloppet gör att teckenbytet om vi byter ordning i den yttre produkten försvinner. Vi kan alltså utan problem säga:

$\displaystyle \int_{\Omega}f\left(x,y\right)dxdy = \displaystyle \int_{\Omega}f\left(x,y\right)dydx$

När vi väl vill utföra beräkningen över vårt område $\Omega$ gör vi detta dock med en dubbelintegral. Här spelar ordningen av differentialerna roll, för integreringsgränserna för området $\Omega$ beskrivs annorlunda beroende på vilken integral som är yttre och vilken som är inre.

Det är alltså ingen slump i vårt fall att $dydx = |dy\wedge dx| = |r|drd\theta$. Dessutom är det inget problem heller att tala om objekt som $dydx$, för man kan helt enkelt tänka att detta beräknas och substitueras in innan man delar upp integralen i två nästlade integraler.