Lösa homogen PDE med Fouriertransform

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan och har en del frågor. Jag har försökt lösa den med Fouriertransform eftersom jag känner igen uppgiftsställningen och vår föreläsare sade att det ska skrika "FOURIER" i huvudet på en varje gång man ser en uppställning som denna.

Min första fråga är om Fouriertransform alltid är en bra ansats i fall som detta. Vi vet dels att

• Vi har en PDE på halva den reella linjen
• Vi har ett begynnelsevillkor som ligger i $\mathcal{L}^{\;\; 2}(\mathbb{R^+})$

Räcker detta för att Fouriertransformen ska vara en bra ansats eller spelar randvillkoren någon roll? Här har vi ju Dirichletrandvillkor, men hade det fungerat även för t.ex. Neumann eller Robin?

Hur som helst, nu till uppgiften:

Jag började med att försöka skapa en udda utvidgning till begynnelsevillkoret, eftersom vår examinator menade att det är "rätt" metod för ett problem på halva $\mathbb{R}$. Denna blev då:

$\displaystyle f_{\text{odd}}\left(x\right):=\mathrm{sgn}\left(x\right)e^{-|x|}$

Sedan försökte jag lösa motsvarande problem på hela $\mathbb{R}$. Fouriertransform i $x$ ger:

$\displaystyle \hat{u}_t\left(\xi,t\right)-3\hat{u}_{xx}\left(\xi,t\right)=0$

Om vi använder egenskaper för Fouriertransformen omvandlas ekvationen till:

$\displaystyle \hat{u}_t\left(\xi,t\right)+3\xi^2\hat{u}\left(\xi,t\right)=0$

vilket är en separabel ODE i variabeln $t$. Med vanliga metoder (variabelseparation) får vi:

$\displaystyle \ln \left|\hat{u}_t\left(\xi,t\right)\right|=-3\xi^2t+C$

Här kommer mitt första stora frågetecken. Hur ska vi hantera absolutbeloppet? Jag bara skippar det i resten av min lösning, men det är för att jag inte vet vad man ska göra åt det:

$\displaystyle \hat{u}\left(\xi,t\right)=e^{-3\xi^2t}e^C$

Om vi stoppar in begynnelsevillkoret får vi att

 $\displaystyle \hat{u}_t\left(\xi,t\right)=\hat{f}_{\text{odd}}\left(\xi\right) e^{-3\xi^2t}$

Nu kommer mitt andra stora frågetecken. Här skulle jag gärna bara vilja inverstransformera men hur motiverar man att det är möjligt? Hur som helst:

$\displaystyle u\left(x,t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\hat{f}_{\text{odd}}\left(\xi\right)e^{-3\xi^2t}e^{ix\xi}d\xi$

Men detta är ju en funktion definerad på hela $\mathbb{R}$ (där löste vi problemet). Hur begränsar man intervallet som $x$ lever på igen? Dessutom tror jag att något har gått väldigt snett här. Kommer randvillkoret verkligen vara uppfyllt?