Lösa homogen PDE med Fouriertransform

Det finns otaliga variationer på olika metoder för att lösa PDE:er, så att ge helt allmängiltiga svar på vad som är den mest effektiva metoden för en allmän klass av PDE:er är nästan omöjligt. Men jag kan ju svara någorlunda pragmatiskt utifrån kursen du läser - jag råkar nämligen också ha läst Fourieranalys med din föreläsare JR.

I kursen har du ju i princip två metoder, Laplacetransform och Fouriertransform, för att lösa PDE:er på definitionsmängder där rumsvariabeln $x$ är obegränsad. Laplacetransformen ställer förhållandevis svaga krav på initialvillkorsfunktionen (jag förkortar det som IVF - jag tror vi klara av att särskilja det från befruktningsmetoden :-) ), det räcker med att den växer högst exponentiellt, medan Fouriertransformen i princip kräver att IVF:en tillhör $\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R})$ (men det går dock ibland - som i det här fallet - att genom spegling utvidga ett problem med IVF i $\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R^+})$ till IVF i $\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R})$).

Priset du får betala för att Laplacetransformen klarar av mer elakartade funktioner är att den är knöligare att invertera (inversionsformeln involverar ju en massa komplex analys). Mitt råd är därför: går det att använda Fouriertransform - gör det, och försök i andra hand med Laplacetransform.

Jag ska strax ge mig på att svara på dina frågor om varför randvillkoret är uppfyllt, men som ett litet intermezzo kommenterar jag först ditt absolutbelopp du får när du löser ODE:n. Tar man hänsyn till absolutbeloppet får vi ju $\hat{u}\left(\xi,t\right)=\pm e^{C}\cdot e^{-3\xi^2t}=\tilde{C} e^{-3\xi^2t}$ - vi bakar helt enkelt in det eventuella tecknet i konstanten $\tilde{C}$ (alternativt kan du utesluta det negativa tecknet genom att konstatera att Fouriertransformen av IVF:en är positiv, men det är ju en jobbig beräkning att behöva göra när den i övrigt inte behövs). Faktum är att problemet med absolutbeloppet till del är självförvållat från din sida eftersom du väljer att lösa ODE:n som en separabel ODE vilket introducerar logaritmen som stökar till det när $\hat{u}=0$. ODE:n är faktiskt också en linjär ODE av första ordningen, vilket betyder att den går att lösa med integrerande faktor. Det brukar vara att föredra eftersom det minimerar den här typen av stök (men det finns ju såklart fall där ekvationen är separabel men inte linjär).

Och så fortsätter jag intermezzot med din inverstransformfråga (som jag först nu sett - jag måste säga att du ställer mycket bra frågor, det är en bra egenskap för en matematikstudent!). Det går att motivera ungefär enligt följande, men jag tror att det egentligen ligger lite utanför kursens fokus  (och behöver förmodligen inte göras på en tenta). Du har ju att $f\in\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R}^+),$ vilket medför $f_\text{odd}\in\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R})$, vilket i sin tur medför $\hat{f}_\text{odd}\in\mathcal{L}^{\ 2}\left(\mathbb{R}\right)$ (det sistnämnda följer av Plancharels sats om du inte sett det redan). Att sedan $h\left(\xi\right)=\hat{f}_\text{odd}\left(\xi\right)e^{-3\xi^2 t}$ också ligger i $\mathcal{L}^{\ 2}(\mathbb{R})$ följer enkelt av att $e^{-3\xi^2 t}\leq 1$. Och vi vet ju att inversionsformeln går bra att använda om funktionen vi ska inverstranformera ligger i $\mathcal{L}^{\ 2}$.

Observera dock att det finns ett mer hjälpsamt sätt att uttrycka din funktion $u$ på istället för att använda inversionformeln. Den går faktiskt att skriva som en faltning! Ta för vana att göra detta - det är i allmänhet mer lätthanterligt. Faktum är att det där uttrycket $e^{-\xi^2 t}$ och dess kusiner alltid dyker upp när man försöker lösa den så kallade värmeledningsekvationen (det är vad man kallar PDE:n $u_t-\kappa u_{xx}=0$). I din formelsamling hittar du också mycket riktigt att funktionen

$g_t\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{12\pi t}}e^{-\frac{x^2}{12t}}$

har Fouriertransformen $\hat{g}_t\left(\xi\right)=e^{-3\xi^2 t}$ (denna funktion och dess kusiner kallas för värmekärnan just på grund av deras centrala roll i lösningen av värmeledningsekvationen). Eftersom multiplikation i "Fouriervärlden" ju motsvaras av faltning i den "vanliga världen" kan vi nu skriva
$\displaystyle u\left(x, t\right)=\left(f_\text{odd}*g_t\right)\left(x\right)=\int_\mathbb{R} f_\text{odd}\left(y\right) g_t\left(x-y\right)\ dy.$

Och nu äntligen till din fråga om varför randvillkoret är uppfyllt (det känns som jag redan hunnit författa en halv roman, men jaja...). Det har allt att göra med att vi valt att göra just en udda utvidgning. Lite jonglering av faltningsuttrycket ger nämligen

$\displaystyle u\left(x,t\right)=\int_\mathbb{R} f_\text{odd}\left(y\right) g_t\left(x-y\right)\ dy$

$\displaystyle=\int_{-\infty}^0 f_\text{odd}\left(y\right) g_t\left(x-y\right)\ dy+\int_0^{\infty} f_\text{odd}\left(y\right) g_t\left(x-y\right)\ dy$

$\displaystyle=\int_0^\infty \underbrace{f_\text{odd}\left(-y\right)}_{=-f(y)} g_t\left(x+y\right)\ dy+\int_0^{\infty} \underbrace{f_\text{odd}\left(y\right)}_{=f(y)} g_t\left(x-y\right)\ dy$

$\displaystyle=\int_0^\infty f\left(y\right)\left(g_t\left(x-y\right)-g_t\left(x+y\right)\right)\ dy$

(jag låter här $f\left(x\right)=e^{-|x|}$ vara den ursprungliga IVF:en, definierad för $x>0$)

En enkel insättning av $x=0$ i uttrycket ger oss nu faktiskt att $u(0,t)=0$ (tittar vi närmare på $g_t$ ser vi ju att $g_t(-y)=g_t(y)$)! Och voilà - på så sätt gör tricket med udda utvidgning att randvillkoret faktiskt uppfylls. Du kan också fundera på varför begynnelsevillkoret är uppfyllt (det har att göra med en sats som delar namn med JR:s favoritdjur!).

Och nu till slut kan vi diskutera litegrann vad som händer om det skulle vart ett Neumann- eller Robinrandvillkor. För ett homogent Neumannrandvillkor fungerar nästan exakt samma sak - man måste bara se till att göra en jämn utvidgning istället (man vill då istället att rumsderivatan ska ha en udda utvidgning för att uppfylla randvillkoret - och udda derivata får man genom att göra funktionen jämn). Jag är överlag lite halvallergisk mot JR:s minnesregler - men i det här fallet är väl regeln Dirichlet - odd extension och Neumann - even extension befogad.

För inhomogena Neumann- eller Dirichletrandvillkor alternativt blandvillkor såsom Robinrandvillkor fungerar det här Fouriertricket dåligt (= i princip inte alls vad jag vet), så i sådana fall är man nog förpassad till att försöka använda Laplacetransformen, men det är nog risk att det blir ordentligt grötigt.

EDIT: Usch vad krånglig PA:s TeX-variant är! Det hade jag glömt...

Hej, tack för ditt uttömmande svar!

Jag ska försöka börja använda värmekärnan istället för inverstransformen. Men förstår jag det rätt som att mitt svar är rätt? Jag är fortfarande inte helt med på hur man ska hantera att vi löste en ekvation på hela $\mathbb{R}$ medan den ursprungliga ekvationen endast var definierad för positiva tal.

bump