5 svar
59 visningar
hejsansvejsantja 31
Postad: 30 maj 2019 Redigerad: 30 maj 2019

Lösning av differentialekvation

Hej jag har differentialekvationen xy'-y=-x^2+5x+1 och vill hitta den allmänna lösningen. Jag började med att dela allt på x. Jag har hittat den integrerande faktorn vilket jag fick till 1/x. Sedan multiplicera jag alla termer i ovanstående med den integrerande faktorn. Sedan får jag d/dx ((y(x)*1/x)=(-x^2+5x+1)/x^2. När jag ska integrerat bråket så tror jag att jag gör fel. För får fel svar. Jag får det till -x+1/x-5ln(x)+c när jag integrerar. Delade upp bråket när jag integrerade men förstår inte vad jag gjort fel

Laguna Online 4991
Postad: 30 maj 2019

Den primitiva funktionen för 1/x^2 är -1/x. Blir det rätt då? 

hejsansvejsantja 31
Postad: 30 maj 2019 Redigerad: 30 maj 2019

Vänta kan du skriva ut hela primitiva funktionen?

Albiki 3943
Postad: 30 maj 2019 Redigerad: 30 maj 2019

Hej!

Innan du dividerar med xx måste du förutsätta att du inte dividerar med noll.

  • Om x=0x=0 så säger ekvationen att -y(0)=1-y(0) = 1, så den lösning som du beräknar gäller när x0x\neq 0 och då x=0x=0 är lösningen definierad att vara y(0)=-1.y(0) = -1.

Under förutsättning att x0x\neq 0 så är din differentialekvation densamma som

    y'(x)-1xy(x)=-x+5+1xy'(x)-\frac{1}{x}y(x)=-x+5+\frac{1}{x}

vars integrerande faktor är e-lnx=1xe^{-\ln x} = \frac{1}{x}. Multiplikation av differentialekvationen med denna faktor ger ekvationen

    (1x·y(x))'=-1+5x+1x2(\frac{1}{x}\cdot y(x))^{\prime}=-1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}.

Integrering ger funktionerna 

    1x·y(x)=C-x+5ln|x|-1xy(x)=5xln|x|-(x2+Cx+1) ,  x0\frac{1}{x}\cdot y(x) = C-x + 5\ln |x|-\frac{1}{x}\iff y(x) = 5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad x\neq 0

där CC betecknar en godtycklig konstant.

Resultatet är alltså 

    y(x)=5xln|x|-(x2+Cx+1) ,  x0 ,-1 ,  x=0.y(x) = \left\{\begin{matrix}5x\ln|x|-(x^2+Cx+1)\ , \quad &x\neq 0\ ,\\-1\ , \quad &x=0.\end{matrix}\right.

hejsansvejsantja 31
Postad: 30 maj 2019

hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

Albiki 3943
Postad: 30 maj 2019
hejsansvejsantja skrev:

hur får du att cx är negativt när det inte var de innan?

Symbolen CC betecknar inte samma konstant i de två fallen.

Svara Avbryt
Close