M3c) Derivatans definition för funktionen f(x)

Det är nog väldigt krångligt att ta fram det där gränsvärdet. Jag vet åtminstone inte exakt hur man skulle göra. Det du dock kan göra är använda att:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$ (per definition av talet $e$)

för att plocka fram derivatan för $3^x$.

Tack för ditt svar!

Jag mistänkte det eftersom det liknar beviset för derivatan av e väldigt mycket som du säger.

Vet någon om det kommer på NP Ma3c?

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3^x(3^h-1)}{h} = 3^x \underset{h\to 0}{* \lim }\frac{(3^h-1)}{h}=3^x * \ln \left(3\right)$

Varför 

$\underset{h\to 0}{ \lim }\frac{(a^h-1)}{h} = \ln \left(a\right)$

är ett tuffare bevis

Var det inte varför det längst ned stämmer som var hela frågan? Det är just det man kan visa med gränsvärdet jag hänvisade till ovan.

naytte skrev:

Var det inte varför det längst ned stämmer som var hela frågan? Det är just det man kan visa med gränsvärdet jag hänvisade till ovan.

Precis, jag satte det bara i ett sammanhang och provade.

mrpotatohead skrev:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3^x(3^h-1)}{h} = 3^x \underset{h\to 0}{* \lim }\frac{(3^h-1)}{h}=3^x * \ln \left(3\right)$

Jag hänger inte med på hur du förenklar gränsvärdet till ln(3). Jag förstår att du bryter ut 3^x eftersom den termen inte innehåller h och därför inte beror på gränsvärdet, men hur fortsätter du?

I min matematikbok, när de bevisar derivatan av e som är ju samma metod, använder de en numerisk lösning där de sätter in mindre och mindre tal.

Går det inte att lösa algebraiskt? Förväntas man kunna det för att nå A-nivå i Ma3c?

Förenklingen till lna kommer från gränsvärdet jag hänvisade till

naytte skrev:

Var det inte varför det längst ned stämmer som var hela frågan? Det är just det man kan visa med gränsvärdet jag hänvisade till ovan.

Trodde att det var för svårt och att man bara skulle använda de färdiga gränsvärdesformlerna. 

(vet inte ens om jag vet hur man gör den metoden du hänvisar till)

Detta ger mig fortfarande inte svar på frågan...

Ska jag skriva om 3 till basen e och använda gränsvärdet för e för att nå fram till svaret? Jag tvivlar på att man ska göra så och sedan sätta in allt mindre värden. Jag söker något algebraiskt sätt som kan redovisas snyggt på ett prov.

Förstår ni?

Tack för er hjälp!

naytte:

Förenklingen till lna kommer från gränsvärdet jag hänvisade till

Du får nog visa hur.

Ska jag skriva om 3 till basen e och använda gränsvärdet för e för att nå fram till svaret?

Ja, så här tänker jag:

Skriv om (3^h - 1)/h som (e^h*ln3 - 1)/h och förläng med ln3 till (e^h*ln3 - 1)*ln3/(h*ln3).

$\underset{h*\ln 3\to 0}{\lim }\frac{e^{h*\ln 3 }-1}{h*\ln 3} =1$ enligt #2, kvarlämnande ln3.

f'(x) = 3^x * ln3.

Om man kan visa vad derivatan för en funktion $\displaystyle f(x)=e^{kx}$ är kan man samtidigt visa vad derivatan för en funktion $\displaystyle f(x)=a^{kx}$ är. Nedan visar jag hur man kan gå tillväga:

Låt $\displaystyle f(x)=e^{kx}$:

$\displaystyle \implies f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h}$

$\displaystyle =e^{kx}\lim_{h \to 0} \frac{e^{kh}-1}{h}$

Det förstås här att gränsvärdet inte går att beräkna om inte exponenten och nämnaren är samma. Därför förlänger vi med $k$ för att erhålla gränsvärdet där $kh\to 0$ istället. Då kan man använda gränsvärdet jag hintade till i föregående inlägg. Det vill säga:

$\displaystyle e^{kx}\lim_{h \to 0} \frac{e^{kh}-1}{h}=e^{kx}\lim_{h \to 0} \frac{k}{k}(\frac{e^{kh}-1}{h})=ke^{kx}\lim_{kh \to 0} \frac{e^{kh}-1}{kh}$

$\displaystyle = ke^{kx}$

Med hjälp av detta kan vi nu visa derivatan för en godtycklig exponentialfunktion! 

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x}a^{kx}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x}e^{kx\ln a}=k\cdot\ln a\cdot a^{kx}$

Snyggt! Det var hur man visade för en godtycklig exponentialfunktion jag inte fick till i skallen..;)

Tack så mycket för er hjälp. Jag ska gå igenom detta och återkommer om jag har fler frågor.