MA3 Integraler (Matematik/Matte 3/Integraler)

Varför får du inget svar? Om jag löser ut a ur den ekvation du satt upp får jag a=2. Jag tycker att du verkar ha gjort rätt så långt du räknat.

AndersW skrev:
Om jag löser ut a ur den ekvation du satt upp får jag a=2.

Svaret borde väl ändå bli $a=5\ln(5)/4$ ?

AlvinB skrev:
AndersW skrev:
Om jag löser ut a ur den ekvation du satt upp får jag a=2.
Svaret borde väl ändå bli $a=5\ln(5)/4$ ?

a=5ln(5)/4 är det svaret jag också får. Men är det rätt? eller har jag gjort fel någonstans i min uträkning?

Det stämmer.

Vad är det som får dig att tro att du gjort fel?

Om man slår ut ert svar så hamnar men på 2. Sedan kan man alltid diskutera skall man svara exakt eller inte. Det har väl att göra med situationen. I detta fall är det givet ett decimaltal i ekvationen och även om man, i detta fall, kan skriva om 0,8 till 4/5 så tycker nog jag att det är tveksamt om man skall göra det. Hade exponenten varit -4x/5 då hade jag varit helt med på ert svar.

AndersW skrev:
Om man slår ut ert svar så hamnar men på 2. Sedan kan man alltid diskutera skall man svara exakt eller inte. Det har väl att göra med situationen. I detta fall är det givet ett decimaltal i ekvationen och även om man, i detta fall, kan skriva om 0,8 till 4/5 så tycker nog jag att det är tveksamt om man skall göra det. Hade exponenten varit -4x/5 då hade jag varit helt med på ert svar.

Inom matematiken brukar konventionen vara att man skall svara exakt om inget annat anges, men jag kan hålla med om att det hade varit bättre att tydliggöra detta genom att skriva med bråk istället.

Dessutom förändras ju svårighetsgraden på uppgiften ganska radikalt om man tillåts svara med närmevärde. Då går det från att vara ett problem som kräver kunskaper om talet $e$ , naturliga logaritmer och primitiva funktioner till ett problem som i princip bara kräver att man kan använda räknarens integralberäkningsfunktion och successivt gissa sig fram.

Jag är den som alltid propagerar för mina elever att de skall hålla sig exakt och inte gå över till decimaltal. I detta fall har redan uppgiftsskaparen tagit bort alternativet att svara exakt då den angivit exponenten som -0,8x. Så efter att ha sovit på det har jag kommit fram till att det inte bara är knepigt utan till och med fel att skriva om exponenten som ett bråk. Detta på grund av att när du skriver om 0.8 till 4/5 så säger du att du vet att detta är exakt 0,8. Det finns inget sätt du kan veta detta. Det enda du vet är att det egentligen ligger mellan 0,75 och 0,85. Till exempel kan ekvationen från början ha varit $y = 4 * 0, 45^{x}$ . Om man skriver om denna med e för att kunna integrera den blir exponenten $\ln (0, 45) x \approx - 0, 8 x$ men du kan aldrig hävda att detta är lika med -4/5x.

Du inför alltså en grad av exakthet du inte kan motivera. Liknande att du svarar med för många värdesiffror. Om man går över till decimaler så förstör man sin noggrannhet och kan i princip inte gå tillbaka. Undantaget skulle vara om du själv i steget innan hade omvandlat 4/5 till 0,8 men då gjorde du "fel" när du gjorde detta.

Skall man då svara med uttrycket $a = \frac{\ln (0, 2)}{- 0, 8}$ ? Nej, jag tycker att eftersom det räknats ut värden på vägen så kan man lika gärna slå ut det och får då samtidigt en känsla för hur stort det är så man kan göra en rimlighetsbedömning av sitt svar. Jag tror också att om detta varit en uppgift på NP hade svaret angivits till a=2.

Sedan så, visst du kan lösa denna med att prova dig fram på en grafritande räknare. Svarar du då med a=2 utan motivering får du 0 poäng på provuppgiften. Svarar du med "Prövning på räknaren ger a=2" får du (kanske) 1 E-poäng. Denna uppgift skulle som uppgift på ett prov kunna ge betydligt fler poäng än så. 1 poäng "beräknar rätt primitiva funktion" 1 poäng "Löser ut ett uttryck för a". Det skulle säker kunna vara någon mer poäng och någon av dessa skulle säkert kunna vara C-poäng. Så nej, svårighetsgraden förändras inte nämnvärt. Det enda jag kan se är omskrivningen $\ln (\frac{1}{5}) = - \ln (5)$ men det är inte logaritmlagarna du vill testa här, dessutom kan ju uppgiften vara i Ma3b och b spåret får inte lära sig logaritmlagarna så de kan inte göra den omskrivningen i alla fall.

AndersW skrev:
...
Detta på grund av att när du skriver om 0.8 till 4/5 så säger du att du vet att detta är exakt 0,8.
...

Det bygger på en tyst överenskommelse att 0,8 är ett närmevärde men att täljaren och nämnaren i 4/5 är exakta värden.

Men om vi inte köper den överenskommelsen så blir det lite intressant. Vi kan då dela upp i olika fall:

A: Inga tal är närmevärden. Då är 0,8 exakt lika med 4/5.

B: Alla tal är närmevärden. Då är 4/5 mindre exakt än 0,8. Detta eftersom

det tal vi representerar med 0,8 ligger någonstans mellan 0,75 och 0,85.
det tal vi representerar med 4/5 ligger någonstans mellan 3,5/5,5 och 4,5/4,5 dvs ungefär mellan 0,64 och 1.

C: 0,8 är ett exakt värde men täljaren och nämnaren i 4/5 är närmevärden. Då är 4/5 ännu mindre exakt än 0,8 av samma anledning som i fall B.

Rationella tal är ett heltal delat med ett annat heltal. Heltal är exakta (under förutsättning att man vet ätt de är heltal och inte avrundade decimaltal). Då är det absurt att anse att 4/5 inte är exakt.

Om man skriver i sin lösning att man utgår ifrån att 0,8 betyder 4/5 exakt, så borde det vara korrekt att svara med logaritm-uttrycket.

Leilaleila, kan du lägga in en bild av uppgiften - det skulle kanske kunna räta ut vissa av våra frågetecken?

Smaragdalena skrev:
Rationella tal är ett heltal delat med ett annat heltal. Heltal är exakta (under förutsättning att man vet ätt de är heltal och inte avrundade decimaltal). Då är det absurt att anse att 4/5 inte är exakt.
...

Om 4/5 är ett rationellt tal så är det exakt, ďet stämmer. Att det är ett rationellt tal bygger på en tyst överenskommelse.

Men om 0,8 inte är ett närmevärde så är det lika exakt. Att 0,8 är ett närmevärde bygger även det på en tyst överenskommelse.

Jag håller med om att det är omständigheterna som avgör huruvida 0,8 ska betraktas som ett närmevärde eller ej.

-------

Men visst kan "absurditeter" (som att 4/5 kan vara en sämre beskrivning av en storhet än 0,8) vara intressanta?

Mitt svar skulle bli en kompromiss.

Svar: $a = - \frac{\ln (0, 2)}{0, 8}$ $(a \approx 2, 0118)$

Svaret med 4 decimaler var något som vi ofta använde förr när vi hämtade värden ur tabeller, men kanske inte används längre?

”På känsla” skulle jag nog svara $a\approx 2,0$ i detta fall. Känns lite väl hårt att säga att $0,8$ endast har en gällande siffra, även om det kan anses vara korrekt i strikt mening.

tomast80 skrev:
”På känsla” skulle jag nog svara $a\approx 2,0$ i detta fall. Känns lite väl hårt att säga att $0,8$ endast har en gällande siffra, även om det kan anses vara korrekt i strikt mening.

Om vi köper att 0,8 är ett närmevärde så kan vi använda enkel störningsräkning för att bedöma hur många värdesiffror som det är rimligt att ha med i svaret:

Beräkna först värdet på a där 0,8 ersatts av 0,75. Kalla detta värde $a_1$ .
Beräkna sedan värdet på a där 0,8 ersatts av 0,85. Kalla detta värde $a_2$ .

$|a_1-a_2|$ är då ett mått på osäkerheten i uträkningen av $a$ .

Yngve skrev:
tomast80 skrev:
”På känsla” skulle jag nog svara $a\approx 2,0$ i detta fall. Känns lite väl hårt att säga att $0,8$ endast har en gällande siffra, även om det kan anses vara korrekt i strikt mening.
Om vi köper att 0,8 är ett närmevärde så kan vi använda enkel störningsräkning för att bedöma hur många värdesiffror som det är rimligt att ha med i svaret:

Vad är det som säger att 0,8 är ett närmevärde? Ingenstans är det omnämnt.
Så länge vi inte har fått veta något om det så borde vi väl behandla det som ett exakt värde?

Om ett decimaltal inte är resultatet av en mätning kan decimaltalet mycket väl vara exakt. Exempel: 1/4=0,25

Smaragdalena skrev:
Om ett decimaltal inte är resultatet av en mätning kan decimaltalet mycket väl vara exakt. Exempel: 1/4=0,25

Det kan vara exakt, men det finns inget som säger i just denna uppgift att det är exakt, det blir en tolkning som måste göras. Allt från en gällande siffra till helt exakt i detta fall.

ConnyN skrev:

Vad är det som säger att 0,8 är ett närmevärde? Ingenstans är det omnämnt.
Så länge vi inte har fått veta något om det så borde vi väl behandla det som ett exakt värde?

Exakt! 😉

Det finns inget som säger det.

Vi får nog sväva i ovisshet tills LeilaLeila kanske löser mysteriet genom att posta hela uppgiftslydelsen.

Det är kontexten som avgör hur svaret bör levereras.

Yngve skrev:
ConnyN skrev:
Vad är det som säger att 0,8 är ett närmevärde? Ingenstans är det omnämnt.
Så länge vi inte har fått veta något om det så borde vi väl behandla det som ett exakt värde?
Exakt! 😉
Det finns inget som säger det.
Vi får nog sväva i ovisshet tills LeilaLeila kanske löser mysteriet genom att posta hela uppgiftslydelsen.
Det är kontexten som avgör hur svaret bör levereras.

Ojdå nu blev bilden väldigt stor, Men det står precis så som jag har skrivit i början, "bestäm a så att ....=4"

LeilaLeila skrev:
Ojdå nu blev bilden väldigt stor, Men det står precis så som jag har skrivit i början, "bestäm a så att ....=4"

Då tycker jag att det inte finns någon som helst anledning att anta att 0,8 är ett närmevärde.

Och därmed bör du ange ett exakt svar.

Yngve skrev:

Då tycker jag att det inte finns någon som helst anledning att anta att 0,8 är ett närmevärde.
Och därmed bör du ange ett exakt svar.

Tack! Tror nog också det är bäst med ett exakt svar :)

Och jag vidhåller att det finns inget som säger att det är ett exakt tal och därmed skall det betraktas som ett inexakt tal. Hade frågeställaren menat ett exakt tal borde denna angett det som 4/5. Om du skall kunna behandla ett decimaltal som ett exakt värde måste du veta hur det har framkommit. Det gör du inte i detta fall. I detta fall kan du snarare anta att det framkommit som ln av någonting då det är en del av exponenten till e.

Så jag anser att ert "exakta" svar är väldigt inexakt men ger ett intryck av att vara exakt. Om man skall följa reglerna om värdesiffror är alla svar med mer än en värdesiffra fel. Därför är det fel med ett "exakt" svar. Hade det stått 4/5 hade jag varit med på det "exakta svaret" men inte nu.

AndersW skrev:
Och jag vidhåller att det finns inget som säger att det är ett exakt tal och därmed skall det betraktas som ett inexakt tal. Hade frågeställaren menat ett exakt tal borde denna angett det som 4/5. Om du skall kunna behandla ett decimaltal som ett exakt värde måste du veta hur det har framkommit. Det gör du inte i detta fall. I detta fall kan du snarare anta att det framkommit som ln av någonting då det är en del av exponenten till e.
Så jag anser att ert "exakta" svar är väldigt inexakt men ger ett intryck av att vara exakt. Om man skall följa reglerna om värdesiffror är alla svar med mer än en värdesiffra fel. Därför är det fel med ett "exakt" svar. Hade det stått 4/5 hade jag varit med på det "exakta svaret" men inte nu.

Det här väcker en intressant fråga. Skulle ni, Anders och Smaragdalena sätta olika poäng på samma svar?
Under förutsättning att fullständigt korrekta uträkningar och tydliga anteckningar föregår svaret.

T.ex. svar:

a) $a = 5 \ln (5) / 4$

b) $a = - \frac{\ln (0, 2)}{0, 8}$

c) $a \approx 2$

Hur bedöms ett alternativt svar som " $a = 5 \ln (5) / 4$ eller $a \approx 2, 0$ "?

Jag anser att båda svaren skulle kunna ge full poäng under förutsättning att de är välmotiverade.

Hade integralen så som den är skriven förekommit inom fysik skulle jag utgå ifrån att 0,8 är ett närmevärde. Hade integralen så som den är skriven förekommit inom matematik skulle jag utgå ifrån att 0,8 är ett exakt värde.

AndersW, anser du att utsagan "1/4=0,25" är felaktig?

AndersW skrev:
Och jag vidhåller att det finns inget som säger att det är ett exakt tal och därmed skall det betraktas som ett inexakt tal. Hade frågeställaren menat ett exakt tal borde denna angett det som 4/5. Om du skall kunna behandla ett decimaltal som ett exakt värde måste du veta hur det har framkommit. Det gör du inte i detta fall. I detta fall kan du snarare anta att det framkommit som ln av någonting då det är en del av exponenten till e.
Så jag anser att ert "exakta" svar är väldigt inexakt men ger ett intryck av att vara exakt. Om man skall följa reglerna om värdesiffror är alla svar med mer än en värdesiffra fel. Därför är det fel med ett "exakt" svar. Hade det stått 4/5 hade jag varit med på det "exakta svaret" men inte nu.

Vi är tydligen inte eniga kring detta.

-----------

Som exempel kan vi ta uppgiften att lösa ekvationen $2x = 0,5$ . Endast svar krävs.

Elev A ger svaret $x=0,25$ .
Elev B ger svaret $x\approx 0,3$ .

Hur skulle du bedöma och ge poäng till respektive svar?

Detta är en ganska udda diskussion. Normalt sett brukar det vara att man argumenterar för att räkna exakt.

Jag är inte den som håller på antalet värdesiffror när man lämnar, de exakta, rationella talens värd. Jag anser dessutom att det är en annan diskussion än den som detta utgår från. Detta är en diskussion om man kan, eller bör, skriva om ett decimaltal till ett rationellt tal. Jag säger att det kan du bara göra om du vet exakt vad decimaltalet kommer från. I detta fall vet du inte det. Som jag sade tidigare är det inte osannolikt att detta kan ha varit $y = 4 * 0, 45^{x} = 4 e^{x \ln 0, 45} \approx 4 e^{- 0, 8 x}$ . Att då skriva om detta som det exakta $4 e^{- \frac{4 x}{5}}$ menar jag att man inte kan göra.

Så 1/4 = 0,25 har jag inga problem med (förutom att jag inte tycker man ska göra beräkningen). Det är två heltal dividerade med varandra så det är svårt att prata om värdesiffror över huvud taget. Däremot är det tveksamt att skriva om 0,25 till 1/4 om du inte vet exakt var detta 0,25 kommer från.

Så av Connys svarsalternativ ovan så tycker jag fortfarande att a alternativet innehåller en grad av exakthet men inte kan motivera. Om man sedan svarar med b eller c alternativet är en fråga om situationen. För att återgå till mitt exempel ovan, om frågan handlat om något som minskar med 55% per år så är det nog lämpligt att svara 2 år och inte $- \frac{\ln (0, 2)}{0, 8}$ år. Jag har dock inga problem med att en elev svarar med 2 på denna fråga, förutsatt att det är på en provdel där eleven får ha en räknare. I redovisningen skall ju ändå uttrycket finnas med.

AndersW skrev:
Detta är en ganska udda diskussion. Normalt sett brukar det vara att man argumenterar för att räkna exakt.
Jag är inte den som håller på antalet värdesiffror när man lämnar, de exakta, rationella talens värd. Jag anser dessutom att det är en annan diskussion än den som detta utgår från. Detta är en diskussion om man kan, eller bör, skriva om ett decimaltal till ett rationellt tal. Jag säger att det kan du bara göra om du vet exakt vad decimaltalet kommer från. I detta fall vet du inte det. Som jag sade tidigare är det inte osannolikt att detta kan ha varit $y = 4 * 0, 45^{x} = 4 e^{x \ln 0, 45} \approx 4 e^{- 0, 8 x}$ . Att då skriva om detta som det exakta $4 e^{- \frac{4 x}{5}}$ menar jag att man inte kan göra.
Så 1/4 = 0,25 har jag inga problem med (förutom att jag inte tycker man ska göra beräkningen). Det är två heltal dividerade med varandra så det är svårt att prata om värdesiffror över huvud taget. Däremot är det tveksamt att skriva om 0,25 till 1/4 om du inte vet exakt var detta 0,25 kommer från.
Så av Connys svarsalternativ ovan så tycker jag fortfarande att a alternativet innehåller en grad av exakthet men inte kan motivera. Om man sedan svarar med b eller c alternativet är en fråga om situationen. För att återgå till mitt exempel ovan, om frågan handlat om något som minskar med 55% per år så är det nog lämpligt att svara 2 år och inte $- \frac{\ln (0, 2)}{0, 8}$ år. Jag har dock inga problem med att en elev svarar med 2 på denna fråga, förutsatt att det är på en provdel där eleven får ha en räknare. I redovisningen skall ju ändå uttrycket finnas med.

Jag håller med om att det är en udda diskussion, men den är inte desto mindre intressant.

Men mitt intresse i diskussionen är inte huruvida 0,8 ska eller bör skrivas om som ett rationellt tal utan istället varför vi ska förutsätta att 0,8 är ett närmevärde när det i uppgiften inte ges något som helst sammanhang som antyder det.

-------

Och jag undrar fortfarande om du föredrar svaret $x\approx 0,3$ framför svaret $x=0,25$ då uppgiften gäller att lösa ekvationen $2x=0,5$ ?

Jag vilar mig på konventionen som säger att ett decimaltal skall betraktas som ett inexakt tal om inget annat anges. (Eller som du uttrycker det någonstans ovan, den tysta överenskommelsen) I detta fall är det 0,8 med en värdesiffra. Vad stödjer du ditt påstående om att det är ett exakt tal på?

0,3 eller 0,25? Kunde inte bry mig mindre. Såvida inte meningen med uppgiften var just att kontrollera om eleven förstått detta med värdesiffror. Detta eller alternativt att det är NP och rättningsmallen säger 0,3 och 0 poäng för 0,25, då får jag lyda skolverket.

När man tillämpar matematik praktiskt problem som beskriver något i verkliga världen är det rimligt att anta att ett decimaltal är uppmätt med en viss noggrannhet och därför är inexakt.

Däremot är det så att många matematikuppgifter är rent teoretiska konstruktioner som saknar verklighetsanknytning. I denna uppgift finns ingen antydan till att problemet skulle vara knutet till något fysiskt och innehålla uppmätta värden. Eftersom värdena är påhittade skulle jag tycka att de är exakta.

I fysik skulle jag tänka som du, men inte i matematik.

AndersW skrev:
Jag vilar mig på konventionen som säger att ett decimaltal skall betraktas som ett inexakt tal om inget annat anges. (Eller som du uttrycker det någonstans ovan, den tysta överenskommelsen) I detta fall är det 0,8 med en värdesiffra. Vad stödjer du ditt påstående om att det är ett exakt tal på?

Jag påstår inte att det är ett exakt tal. Jag säger att det inte finns någon anledning att anta att det är ett närmevärde, eftersom uppgiften är given utan sammanhang. Och att det därför bör behandlas som ett exakt tal.

Men vi har ju redan rett ut att vi har olika åsikter om detta, så vi kan släppa det.

0,3 eller 0,25? Kunde inte bry mig mindre. Såvida inte meningen med uppgiften var just att kontrollera om eleven förstått detta med värdesiffror. Detta eller alternativt att det är NP och rättningsmallen säger 0,3 och 0 poäng för 0,25, då får jag lyda skolverket.

Nu förstår jag inte.

Tidigare har du sagt att om det inte specifikt framgår att ett decimaltal är ett exakt tal så ska det betraktas som ett inexakt tal, dvs ett närmevärde. Då borde du föredra svaret $x\approx 0,3$ och kanske till och med anse att svaret $x=0,25$ är felaktigt, eftersom det då anges med för många värdesiffror.

Men nu säger du att du inte bryr dig om vilket svar som anges?

Du ser inte skillnaden mellan att påstå att ett decimaltal är exakt utan något som styrker detta eller att svara med en värdesiffra för mycket? Livet är för kort för diskussioner som denna.

AndersW skrev:
Du ser inte skillnaden mellan att påstå att ett decimaltal är exakt utan något som styrker detta eller att svara med en värdesiffra för mycket? Livet är för kort för diskussioner som denna.

Jo jag ser skillnaden, vad den nu har med saken att göra.

Men återigen, jag påstår inte att decimaltalet är exakt. Det är du som påstår att decimaltalet är ett närmevärde.

------------------

Om värdesiffror, vi kan ju ta ekvationen $4x=0,5$ istället så har eleven plötsligt två värdesiffror för mycket i och med svaret $x=0,125$ .