MaFy 2015 uppgift 27

Elev01 skrev:

$$\begin{gathered} Fall 1: \\ x-a=3/x \\ {x}^2-ax-3=0 \\ Fall 2: \\ x-a=-3/x \\ {x}^2-ax+3=0 \\ Eftersom en reell lösning, b^2-4ac=0 \\ Fall 1: {(-a)}^2-4(-3)=0, a = \pm \sqrt{-12} = inget reell tal \\ Fall 2: {(-a)}^2-4\left(3\right)=0, a = \pm \sqrt{12} = 2\sqrt{3} eller -2\sqrt{3} \end{gathered}$$

 

Minsta reella tal är a = $-2\sqrt{3}$eller hur? Men Facit säger att det finns ingen minsta tal med den egenskapen.

Jag kommer ihåg att jag gjorde den uppgiften och fann inga reella lösningar till fall 1, men fick en reell lösning vid fall 2. Så det är väl det svaret som gäller, sen skulle man pröva båda svaren om det gäller eller ej 

Det du kommit fram till är 'brytpunkter'.
Vad händer om $a<-2\sqrt{3}$?     Tex a=-20

Edit: Eller $a=-\sqrt{20}$

joculator skrev:

Det du kommit fram till är 'brytpunkter'.
Vad händer om $a<-2\sqrt{3}$?     Tex a=-20

Edit: Eller $a=-\sqrt{20}$

Både $x^2-(-\sqrt{20})x+3=0$och $x^2-(-20)x+3=0$ ger två realla lösningar. Vadå?

Vi har ekvationen x|x-a| = 3.

Vi kan direkt notera två saker: I. x > 0 och II. x $\ne$a. Vi lägger detta på minnet.

Vi kan då leta efter lösningar i två fall.

Fall 1. x > a  (1).

Ekvationen kan då skrivas

x² - ax - 3 = 0,

vilket ger x = (a $\pm$ (a² + 12)^1/2)/2.

Notera att vi bara kan använda lösningen med plustecknet (+) eftersom minustecknet (-) ger en lösning sådan att x < a, vilket motsäger villkoret (1).

Fall 2. x < a  (2).

Ekvationen kan då skrivas

x² - ax + 3 = 0, 

vilket ger x = (a $\pm$ (a² - 12)^1/2)/2.

För att vi skall ha reella lösningar så krävs a² $\ge$ 12, dvs a$\ge \sqrt{12}$ eller a$\le -\sqrt{12}$. Notera att ett negativt värde på a ger oss negativa x värden, vilket inte är möjligt, enligt vad vi konstaterade i början (se punkt I.). Så vi måste ha a$\ge \sqrt{12}$.

Om a = $\sqrt{12}$ så får vi en lösning x, som dessutom uppfyller att 0 < x < a, så godtagbar.

Om a  > $\sqrt{12}$ så får vi två lösningar x1, x2, som dessutom uppfyller att 0 < x1, x2 < a, så godtagbara.

Sammanfattningsvis så gäller det således.

a > $\sqrt{12}$: tre lösningar (en från fall 1 och två från fall 2).

a = $\sqrt{12}$: två lösningar (en från fall 1 och en från fall 2).

a < $\sqrt{12}$: en lösning (från fall 1).

Så det finns inget minsta tal a sådant att ekvationen har precis en lösning eftersom ekvationen har precis en lösning för alla värden på a som är mindre än $\sqrt{12}$.

PATENTERAMERA skrev:

Vi har ekvationen x|x-a| = 3.

Vi kan direkt notera två saker: I. x > 0 och II. x $\ne$a. Vi lägger detta på minnet.

Vi kan då leta efter lösningar i två fall.

Fall 1. x > a  (1).

Ekvationen kan då skrivas

x² - ax - 3 = 0,

vilket ger x = (a $\pm$ (a² + 12)^1/2)/2.

Notera att vi bara kan använda lösningen med plustecknet (+) eftersom minustecknet (-) ger en lösning sådan att x < a, vilket motsäger villkoret (1).

Fall 2. x < a  (2).

Ekvationen kan då skrivas

x² - ax + 3 = 0, 

vilket ger x = (a $\pm$ (a² - 12)^1/2)/2.

För att vi skall ha reella lösningar så krävs a² $\ge$ 12, dvs a$\ge \sqrt{12}$ eller a$\le -\sqrt{12}$. Notera att ett negativt värde på a ger oss negativa x värden, vilket inte är möjligt, enligt vad vi konstaterade i början (se punkt I.). Så vi måste ha a$\ge \sqrt{12}$.

Om a = $\sqrt{12}$ så får vi en lösning x, som dessutom uppfyller att 0 < x < a, så godtagbar.

Om a  > $\sqrt{12}$ så får vi två lösningar x1, x2, som dessutom uppfyller att 0 < x1, x2 < a, så godtagbara.

Sammanfattningsvis så gäller det således.

a > $\sqrt{12}$: tre lösningar (en från fall 1 och två från fall 2).

a = $\sqrt{12}$: två lösningar (en från fall 1 och en från fall 2).

a < $\sqrt{12}$: en lösning (från fall 1).

Så det finns inget minsta tal a sådant att ekvationen har precis en lösning eftersom ekvationen har precis en lösning för alla värden på a som är mindre än $\sqrt{12}$.

Jag förstår nu, tack så mycket!

Två frågor.

1) Var kommer "Eftersom en reell lösning, $b^{2-}4ac=0$" ifrån?

2) Om vi sätter in ett plus i absolutbeloppet så blir ekvationen vettig. $x\left|x+a\right|=3$
Då får vi att  $a=-\sqrt{12}$är det minsta värdet vi kan ha på $a$.
Det ser ut att stämma i både grafräknare och med algebra. 

Är det rimligt att tänka så? (Då blir det ju en lite mer vettig uppgift. I mina ögon i alla fall)

Då får du ekvationen x|x-$\sqrt{12}$| = 3. Det är ju samma som den ursprungliga ekvationen med a = $\sqrt{12}$, och som vi såg hade vi två lösningar i detta fall.

Ja det stämmer, men skillnaden blir att vi låter $\underset{a\to -\sqrt{12}}{\lim }$utan att nå riktigt ända fram.

Vi har alltså ett negativt värde på a. Som uppgiften är skriven ursprungligen, med minustecken har vi ett positivt värde på a.

Edit: Förtydligande. Vi byter ekvationen i frågan till $x\left|x+a\right|=3$och svaret blir $a>-\sqrt{12}$

Håller det resonemanget?

Vi ändrar ju inte problemet egentligen.

Om vi utgår från ursprungsformuleringen

x|x-a| = 3   (1).

Vi kan då införa en ny variabel b som vi definierar enligt b = -a. Ekvationen blir i denna variabel

x|x+b| = 3   (2).

Vi vet att ursprungsekvationen har precis en lösning då a < $\sqrt{12}$ vilket är ekvivalent med -$\sqrt{12}$ < -a, dvs den andra formuleringen (med b) har precis en lösning då -$\sqrt{12}$ < b. Men det finns fortfarande inget minsta värde b för vilket ekvationen (2) har precis en lösning.

OK. Jag läste frågan mer som att vi har endast en lösning vid ett minsta värde på a, men om jag fattar dig rätt så tolkar du det som att vi ska ha exakt en lösning vid en enda punkt på grafen?

Intressant uppgift blev det för mig i alla fall och jag testade GeoGebra och lyckades få in en glidare som fungerade.
Här kommer några bilder från det. På den första ser vi att vid värden på $a<-\sqrt{12}$så får vi tre skärningspunkter mot g(x)=3.

När vi sedan har större värden på a än -$\sqrt{12}$så får vi bara en skärningspunkt.
Nu är det kanske ointressant för andra? För mig blev det dock en bra övning och tack för ditt tålamod Patenteramera.