17 svar

366 visningar

ConnyN är nöjd med hjälpen

MaFy 2023 8

Det finns redan en tråd med denna uppgift, men för att inte röra till den så startar jag en ny.
Jag får fram att man kan få en icke-reell dubbelrot utan att någon koefficienterna är icke-reell?
Vad gör jag för fel?

Min tankegång är så här:
Vi förbereder formeln att lösas med pq.

$z^{2} + \frac{b}{a} z + \frac{c}{a} = 0$ Vi löser z.

$z = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}}$
För att få en icke-reell dubbelrot så måste diskriminanten vara negativ.
b² blir alltid positiv liksom 4a². För att c/a ska vara positiv måste både a och c vara positiva eller bägge negativa.

Ett exempel a=-3, b=6 och c=-9

$z = \frac{6}{- 6} \pm \sqrt{1 - \frac{- 9}{- 3}} = - 1 \pm \sqrt{1 - 3} = - 1 \pm i \sqrt{2}$ och vi har två icke-reella rötter eller?

Tillägg: Nu börjar det att koppla för mig. Dubbelrot är ju något helt annat än två rötter.
På med tänkarluvan igen. Ursäkta misstaget.

ConnyN skrev:
Tillägg: Nu börjar det att koppla för mig. Dubbelrot är ju något helt annat än två rötter.

Just det.

Dubbelrot innebär att det endast finns ett nollställe, vilket innebär att diskriminanten är ..., vilket innebär att ...(något om a, b och/eller c)

Att detta nollställe är icke-reellt innebär i sin tur att ...(något om a, b och/eller c)

Första man borde göra på liknande uppgifter är att ta ett väldigt simpelt exempel.

$(z-i)^2$ stryker b) direkt.

Vi vet också att alla koefficienter inte kan vara reella.

Om du fastnar

Det enda alternativet är att man har reella + komplexa, eller bara komplexa. Vårt exempel stödjer reella+komplexa. Kan vi skapa en med bara komplexa?

Asså i texten så säger dem "någon" av koefficienterna är icke-reellla vilket en av livehjälpare fastnade för. Kan det betyda att tex a är icke reell medan b och c är reella? Vi var lite osäkra på hur man tolkar just "någon"

Ja, det stämmer! När de skriver "någon av" menar de "minst en". I någon mån skulle väl "någon av" kunna tolkas som "precis en av", men vi kan nog vara ganska säkra på att provkonstruktörerna tänkt igenom sina formuleringar rätt noga. Tanken är ju att testa kunskaper inom matematik och problemförståelse och -lösning, inte precis vilka gränser för antal som ingår i orden "någon av". :)

Yngve skrev:
Dubbelrot innebär att det endast finns ett nollställe, vilket innebär att diskriminanten är ..., vilket innebär att ...(något om a, b och/eller c)

Att detta nollställe är icke-reellt innebär i sin tur att ...(något om a, b och/eller c)

Om vi fyller i "Dubbelrot innebär att det endast finns ett nollställe, vilket innebär att diskriminanten är noll, vilket innebär att vi har endast en rot och den kallas dubbelrot (eftersom även om vi närmar oss den från höger eller vänster så närmar vi oss samma tal t.ex. $x \to 2^{+}$ eller $x \to 2^{-}$ som 2,0001 och 1,9999.)

Att detta nollställe är icke-reellt innebär i sin tur att diskriminanten är noll och a eller b måste vara icke-reell.

Är det så ungefär som jag borde tänka?

Ja, ungefär. Jag tänkte så här:

Dubbelrot innebär att det endast finns ett nollställe, vilket innebär att diskriminanten är lika med 0, vilket innebär att b² = 4ac.

Att detta nollställe är icke-reellt innebär i sin tur att -b/2a är icke-reellt.

Det innebär i sin tur att minst en av a och b är icke-reell.

Alltså gäller alternativ a) generellt och då går alternativ d) bort.

Vi kan nu, om vi vill, undersöka om även alternativ b) och/eller alternativ c) kan gälla:

För att b²= 4ac ska gälla så finns det flera möjliga alternativ:

a, b och c är alla icke-reella
a och b är icke-reella, c är reell
b och c är icke-reella, a är reell

Vi ser att det finns möjligheter att en koefficient är reell, därför går alternativ b) bort.

Vi ser att det finns möjligheter att alla koefficienter är icke-rella, därför går alternativ c) bort.

Först vill jag tacka dig för att du bekräftat att min tankegång var användbar och att du sedan dessutom förklarar varför den är användbar. Jag har bara en tilläggsfråga nedan.
Tures förklaring har jag ännu inte granskat, men jag ska titta på den också.
Dracaenas förslag är så kort så jag ser inte vad nästa steg blir. Det verkar bygga på faktorisering, men hur?

Jag skriver direkt i ditt svar:

Yngve skrev:

Ja, ungefär. Jag tänkte så här:

Dubbelrot innebär att det endast finns ett nollställe, vilket innebär att diskriminanten är lika med 0, vilket innebär att b² = 4ac. "Ja just det ja. Jag funderade lite på den biten. Det gäller att komma ihåg att det räcker med att täljaren blir noll. Vilket går bättre och bättre, men det är lätt att missa sådant ibland. Kanske har det med åldern att göra, men jag vet inte om jag var så mycket bättre under gymnasietiden heller."

Att detta nollställe är icke-reellt innebär i sin tur att -b/2a är icke-reellt. Det innebär i sin tur att minst en av a och b är icke-reell. "Ja det var vad jag anade, men som sagt inte var säker på."

Alltså gäller alternativ a) generellt och då går alternativ d) bort. "Ja. Snyggt"

Vi kan nu, om vi vill, undersöka om även alternativ b) och/eller alternativ c) kan gälla:

För att b²= 4ac ska gälla så finns det flera möjliga alternativ:

a, b och c är alla icke-reella
a och b är icke-reella, c är reell
b och c är icke-reella, a är reell

Vi ser att det finns möjligheter att en koefficient är reell, därför går alternativ b) bort. "Ja det stämmer"

Vi ser att det finns möjligheter att alla koefficienter är icke-rella, därför går alternativ c) bort. "Det är det svårt att se tycker jag. Kan man verkligen lyckas med det?"

ConnyN skrev:
"Det gäller att komma ihåg att det räcker med att täljaren blir noll. Vilket går bättre och bättre, men det är lätt att missa sådant ibland"

Det kommer säkerligen att sätta sig. Det är ju en enklare väg framåt, och våra hjärnor är lindade på så sätt att vi tar till oss enkelhet.

Vi ser att det finns möjligheter att alla koefficienter är icke-rella, därför går alternativ c) bort. "Det är det svårt att se tycker jag. Kan man verkligen lyckas med det?"

Vi vet att -b/2a är icke-reellt, vilket betyder att minst en av a och b är icke-reell. Det finns inget i det uttrycket som hindrar att båda är det.

Vi vet att b² = 4ac. Det finns inget i den ekvationen som hindrar att även c är icke-reell.

Nej just det ja. Tusen tack!

Dracaena skrev:
Första man borde göra på liknande uppgifter är att ta ett väldigt simpelt exempel.

$(z-i)^2$ stryker b) direkt.

Vi vet också att alla koefficienter inte kan vara reella.

Om du fastnar

Det enda alternativet är att man har reella + komplexa, eller bara komplexa. Vårt exempel stödjer reella+komplexa. Kan vi skapa en med bara komplexa?

Jag försöker nu att förstå Tures metod med faktorisering till skillnad mot lösning med pq-formeln.
Tures förslag började väldigt pedagogiskt, men sedan kom det här:

efter lite förenkling av destiny99:s resultat får Ture (lite förenkling var väl ändå en underdift? min kommentar)
az2+az(-2x-2yi) + a(x+yi)2 ) = 0
Sen identifierar vi termerna då ser vi att
b = a(-2x-2yi)
c = a(x+yi)2

Du har kanske något liknande i tankarna?

Med lite distans på förra tråden i den här frågan, så anser jag att den metod Conny har använt i den här tråden kommer snabbare i mål och är lättare att förstå.

Dessvärre hittar man inte alltid den lättaste vägen fram utan kör fast i det hjulspår man börjat.

Nåväl,

Det jag gjorde var att skriva om ursprungsekvationen till

a(z-(x+iy))² = 0 (eftersom x+iy är vår dubbelrot och y är skilt från 0)

Sen utvecklar vi VL och får

a(z^2-2zx-2ziy+x^2+2xiy-y^2) = 0
som jag förenklar, den här gången stegvis,

a(z² + z(-2x-2iy) + x²+2xiy-y²) = 0
De sista tre termerna kan mha kvadreringsregeln skrivas om så vi får

a(z² + z(-2x-2iy) + (x+iy)² ) = 0
multiplicera in a

ekv 1, az² + za(-2x-2iy) + a(x+iy)² ) = 0

Vår ursprungsekvation är

ekv 2, az²+bz+c=0

Jämför vi nu faktorerna framför z², z och konstanttermen i de två ekvationerna får vi

a= a
b = a(-2x-2iy)
c = a(x+iy)²

Vi kan då dra slutsatsen att a kan väljas fritt reellt eller inte.

1. om a är reellt blir b icke reellt (parentesen innehåller en imaginärdel) och c kan vara vilket som, beroende på värdena på x och y.
2. om a är icke reellt kan både b och c vara reella eller icke reella.

I och med det är det bara det första alternativet som är det riktiga i frågeställningen.

Ture skrev: Med lite distans på förra tråden i den här frågan, så anser jag att den metod Conny har använt i den här tråden kommer snabbare i mål och är lättare att förstå.

Utan Yngves hjälp hade jag inte kommit i mål.

Nu har jag också förstått din metod. Det är alltid mycket lärorikt att förstå andras lösningar och det jag observerat är att de som har högskolematematematik i bakgrunden ofta använder faktorisering och det förstår man när man som jag har börjat lära mig lite av grunderna i den. Det är ett stort steg att lämna de färdiga formlernas värd i gymnasiematematiken till att kunna härleda och till och med kunna ta fram formler som är en naturlig del i högskolematematiken.

Så jag tackar allra ödmjukast för hjälpen att förstå metoden med faktorisering i detta fall.

En fråga har jag dock. Du skriver: 1. om a är reellt blir b icke reellt (parentesen innehåller en imaginärdel) och c kan vara vilket som, beroende på värdena på x och y.

Kan c vara vilket som? c = a(x+iy)² = a(x²+2xiy-y²) Även den parentesen innehåller ju en imaginärdel?
Det påverkar inte slutledningen att a) är det enda rätta svaret, men bara en undran från mig.

ConnyN skrev:

En fråga har jag dock. Du skriver: 1. om a är reellt blir b icke reellt (parentesen innehåller en imaginärdel) och c kan vara vilket som, beroende på värdena på x och y.

Kan c vara vilket som? c = a(x+iy)² = a(x²+2xiy-y²) Även den parentesen innehåller ju en imaginärdel?
Det påverkar inte slutledningen att a) är det enda rätta svaret, men bara en undran från mig.

Den kan bli reell om x = 0

Ja det är klart! Då är jag nöjd.
Skulle vara roligt om Dracaena ville förklara sin tankegång också eller för den delen någon annan som har ytterligare någon lösning.

Ett sätt som liknar Dracaenas är att använda sig av faktorsatsen. Den säger att alla polynomfunktioner på formen $f(x)=ax^2+bx+c$ kan skrivas som $f (x) = k (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , där x₁ och x₂ är funktionens nollställen, och k är en konstant.

Vi har två lösningar som ska vara samma (en dubbelrot), vilket ger oss att $f (x) = k {(x - x_{1})}^{2}$ , där x₁ är ett icke-reellt tal.

Utveckling av uttrycket ger då $f (x) = k (x^{2} - 2 x \cdot x_{1} + {x_{1}}^{2}) = k x^{2} - 2 k x \cdot x_{1} + k {x_{1}}^{2}$ . Mönstermatchning av koefficienterna mot $ax^2+bx+c$ ger då:

$\{\begin{cases} k = a \\ - 2 k x_{1} = b \\ k {x_{1}}^{2} = c \end{cases}$

För att dra en slutsats måste vi undersöka vad som händer för olika värden på k:

Om k är ett reellt tal, är b ett icke-reellt tal. c kan vi inte säga något om, men vi vet att a är reellt. Vi kan därmed utesluta (b).
Om k är ett icke-reellt tal, får vi två situationer. Antingen är k·x1k\cdot x_1 ett reellt tal, eller ett icke-reellt tal.
- Om $k\cdot x_1$ är reellt, får vi att a är en icke-reell konstant, b är en reell konstant, och c en icke-reell konstant.
- Om $k\cdot x_1$ inte är reellt, får vi att a är en icke-reell konstant, b är en icke-reell konstant, och c kommer att bero på om $k\cdot (x_1)^2$ är reellt eller inte. Det kan vara ett icke-reellt tal, vad vi vet, men det kan också vara ett icke-reellt tal, och då faller (c).

Vad k än är, kommer någon av konstanterna alltid att vara icke-reell. Därför är (a) sant.

Detta är en rätt bökig metod, men det går. Dock går det mycket fortare att köra PQ. :)

Tillägg: 14 jun 2023 14:01

Jag ser nu att detta är en metod som är väldigt lik Tures. Ajdå. 😅

Smutstvätt skrev:

Tillägg: 14 jun 2023 14:01

Jag ser nu att detta är en metod som är väldigt lik Tures. Ajdå. 😅

Det gjorde inte så mycket. Nu blev det ännu tydligare för mig. Som jag skrev tidigare att analysera andras lösningar kan vara mycket givande. Så tack för den också 😊

@Conny, min lösning var åt samma banor som smutstvätt, fast i banorna att man endast behöver visa att om det för ett enda val av a,b,c går att skapa en funktion $f(z)$ men komplexa koefficenter med en komplex dubbelrot, så är a sann. Motiveringen kan ses i mitt tidigare inlägg där b och d utesluts direkt.

Jag har inte gett en komplett lösning då jag inte tycker att det kommer att tillföra. Lösningarna av Yngve, Ture och Smutstvätt känns tillräckliga. :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar