Markera vilket område

Frågan är nog felställd.

{ (abs(z-1))=2, Imz - rez = 1} är inget område utan två punkter.

abs(z-1)=2 är en cirkel med radie 2 och centrum i 1.

Imz - rez = 1 är en linje som går genom -1 och i. Denna linje skär cirkeln i två punkter. Dessa är svaret.

Kan det tänkas att de bägge "=" skall vara "<" eller ">"?

I så fall får man två områden (abs(z-1))<2 och Imz - rez < 1

Var är bägge kraven uppfyllda?

Hej Bubo, ja det är som du säger. Så ska det vara.

Hur vet man att z-1 <=2 är en cirkel med centrum i "1"? Varför inte centrum i.. vad som helst egentligen?

Och hur vet man att Imz - rez = 1 är en linje?

Eller för den delen då Imz -rez <1 som troligen är det korrekta..

$\Im z = 1 - \Re z$ är ju på räta linjens form, alltså $y=kx+m$!

För att visa att $\operatorname{Im} z - \operatorname{Re} z = 1$ är en linje så kan vi ansätta kartesisk form: $z=x+yi$.

Då får vi $1 = \operatorname{Im} z - \operatorname{Re} z = y-x$ eller omskrivet $y = x+1$, en linje! 

Ekvationen för en cirkel med centrum $(a,b)$ och radie $r$ är $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$.

Vad händer om du utvidgar $|z-1|=2$ på liknande sätt som ovan? 

Okej, 

Menar du såhär?

Bra att skriva om det sådär, har aldrig sett det förut, då kändes det mycket bättre. Mindre abstrakt. Kan man alltid göra så med dessa uppgifter där man ska markera områden för komplexa tal tro?

Fast du menar nog (a-1)^2 + (b)^2 = 4

Och varför är Imz = 1-rez på räta linjens form? Jag ser inte att det är så :3

Jag tror man alltid bör kunna göra såhär, ja. 

Din cirkel ser rätt ut, när du kommit ned till $(x-1)^2 + y^2 = 2^2$ är du egentligen klar med att visa att $|z-1|=2$ blir en cirkel. 

Nu var ju egentligen frågan med lite olikheter och sådant, det mycket lättare att visualisera om man ritar! 
Ovan visas olikheten $|z-1|\leq 2$. Som du ser är det en ifylld cirkel med radie $2$ med centrum $(1,0)$.