Måste två f och g vara samma funktion om deras integraler alltid är lika?

För $n=1$

$f(x) \equiv 0$ och $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lc}1&x=0\\0&\text{annars}\end{array}\right.$ 

Jag tror detta motsäger påståendet. Det kan väl ej finnas en delmängd där $g$ har nollskiljd integral? 

Håller med och tänkte faktiskt på exakt samma exempel precis efter att jag postade tråden! Låt mig komma med en liten korrigering: $f$ och $g$ måste vara kontinuerliga.

Då tror jag de måste vara lika, igen för $n=1$.

Antag att det finns $x_0$ där $f(x_0) \neq g(x_0)$. Vi kan anta utan inskränkning att $f(x_0) > g(x_0)$. Kontinuitet, om jag inte tänker fel, ger att det finns ett område, $D$, runt $x_0$ där $f(x) > g(x)$ för varje $x \in D$ och då kan integralen över detta område inte vara samma för $f$ och $g$. (Detta är då negationen av påståendet)

Om man sopar en del måtteoretiska detaljer under mattan, så kan man resonera på följande sätt:

Till varje $k\in \mathbb{Z}^+$ definierar man mängderna

• $E_k = \{ x \in \mathbb{R}^n: f(x) > g(x) + \frac{1}{k}\}$ och
• $F_k = \{ x \in \mathbb{R}^n: g(x) > f(x) + \frac{1}{k}\}$.

På dessa mängder gäller att:

• $1 < k\cdot (f(x) - g(x))$ på $E_k$ och
• $1 < k\cdot (g(x) - f(x))$ på $F_k$

Volymen av mängderna kan då uppskattas:

• $Vol(E_k) = \int_{E_k} 1\,dx \le k \cdot \int_{E_k} (f(x)-g(x))\,dx  = 0$
• $Vol(F_k) = ... = 0$.

Mängden där $f(x) \ne g(x)$ fås som unionen av alla dessa $E_k$ och $F_k$, så $Vol(\{x: f(x) \ne g(x)\}) = 0$.

EDIT:

Om man nu försöker hålla påståendet och beviset rigorösa, så stöter man på en del besvär. Det är just Riemannintegralen som inte är lämpligast för påståendet. Grejen är att det finns massor med mängder $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ sådana att Riemannintegralen $\int_{\mathcal{H}} f(x)\,dx$ är odefinierad om inte $f$ är konstant noll. I "beviset" som jag skrivit ovan är det oklart om mängderna $E_k$ och $F_k$ kan råka vara sådana mängder över vilka R-integralen saknas.

Sedan får man problem i kontexten av Riemannintegralen och Jordanmätbara mängder med vad som menas med volymen och i synnerhet hur det blir med volymen av en uppräknelig union.

För Lebesgueintegralen gäller följande (med beviset som jag skrivit ovan):

Antag att $f$ och $g$ är Lebesgueintegrerbara funktioner (btw. varje Riemannintegrerbar funktion är Lebesgueintegrerbar) och att det gäller att $\int_G f(x)\,dx = \int_G g(x)\,dx$ för varje Lebesguemätbar mängd $G\subset \mathbb{R}^n$. Då är $f(x) = g(x)$ nästan överallt. Med andra ord är Lebesguemåttet av mängden $\{x: f(x) \ne g(x)\}$ lika med noll.

EDIT 2:

Vill man klara sig med riemannintegraler, så kan man modifiera påståendet på följande sätt:

Antag att $f,g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ är kontinuerliga. Antag dessutom att $\int_K f(x)\,dx = \int_K g(x)\,dx$ gäller för varje kub $K$ med sidor parallella med koordinataxlarna. Då gäller att $f(x) = g(x)$ för alla $x\in\mathbb{R}^n$.

Bevis:

Det följer från medelvärdessatsen för riemannintegraler och kontinuiteten av $f$ respektive $g$ att

$\displaystyle f\left(a\right) = \lim_{d \to 0^+} \frac{1}{Vol(K(a,d))} \int_{K(a,d)} f\left(x\right)\,dx$ respektive $\displaystyle g\left(a\right) = \lim_{d \to 0^+} \frac{1}{Vol(K(a,d))} \int_{K(a,d)} g\left(x\right)\,dx$,

där $K(a,d)$ är kuben med medelpunkten i $a \in \mathbb{R^n}$ och sidlängden $d$ (vars volym är då $d^n$).

Det följer alltså att $f(a) = g(a)$ för varje punkt $a \in \mathbb{R}^n$ eftersom integraler av $f(x)$ och $g(x)$ över varje kub är lika.

Tack för det uttömande svaret! Jag har inte tid att gå igenom det just nu, men jag tänkte säga också vad jag har tänkt ha detta till ifall det underlättar på något sätt. Motiveringen är något fysikalisk.

Låt säga att vi har en mängd $K\subseteq \mathbb{R}^3$ som utgör volymen till ett objekt. Varje delvolym inom objektet kommer ju förstås ha en massa, men varje punkt kommer ha en densitet. Jag tänkte att man kunde försöka definiera densiteten som den funktion $\rho$ som för varje massa $m\left(\mathcal{A}\right)$ i en delvolym $\mathcal{A}\subseteq K$ uppfyller

$\displaystyle m\left(\mathcal{A}\right)=\iiint_{\mathcal{A}}\rho\left(\mathbf{r}\right)dV$

Men skulle denna definition unikt definera $\rho$ eller skulle det kunna finnas flera funktioner som uppfyller detta samband? Detta var frågeställningen som fick mig att ställa den här frågan.

EDIT: korrigerade en felskrivning

naytte skrev:

...

Låt säga att vi har en mängd $K\subseteq \mathbb{R}^3$ som utgör volymen till ett objekt. Varje delvolym inom objektet kommer ju förstås ha en massa, men varje punkt kommer ha en densitet.

...

Men skulle denna definition unikt definera $\rho$ eller skulle det kunna finnas flera funktioner som uppfyller detta samband?

Detta är en svår fråga som kräver kunskaper av måtteori för att kunna ta fram ett tillfredsställande svar. Beroende på egenskaperna av funktionen $m: \mathfrak{M} \to [0, \infty)$, där $\mathfrak{M} \subset 2^K$ är en familj mängder (d.v.s. "delvolymer") vars "massa" är väldefinierad, så kan det hända att $m(\mathcal{A})$ inte ens går att representera m.h.a. någon trippelintegral med volymelementet $dV$.

Om $m$ är snäll (vad det än betyder) så att $m(\mathcal{A})$ faktiskt kan representeras av en trippelintegral, så kommer densiteten $\rho$ vara given entydigt nästan överallt. (D.v.s. om det finns två olika densitetsfunktioner $\rho_1$ och $\rho_2$ som representerar $m$, så har mängden $\{x: \rho_1(x) \ne \rho_2(x)\}$ lebesguemåttet lika med noll.)

Vad menas med att $m$ är snäll?

• $m$ är ett $\sigma$-ändligt mått definierat på en $\sigma$-algebra $\mathfrak{M}$ som innehåller åtminstone Borelmängder i $K$
  
  och
  
  
• $m$ är absolutkontinuerligt m.a.p. lebesguemåttet, d.v.s. om lebesguemåttet av en mängd $\mathcal{A} \subset K$ är noll, så är även $m(\mathcal{A}) = 0$

Då finns det densiteten $\rho$ enligt Radon–Nikodyms sats.

Tack för svaret! Det är nog dags att läsa lite mer måtteori för min del…! 🙂

Finns det några krav man kan ställa på $m$ så att det finns exakt en unik funktion $\rho$, eller är det bästa man kan få en mängd funktioner som är samma nästan överallt? Funktionen ska ju helst vara ”fysikalisk”.