Matematik 5000. Kurs 3. Blandade problem 4. Uppgift 10

Börja med att rita en cirkel och en ungefärlig fyrhörning inskriven i den, enligt uppgiften.

Hallå,

Okej, då tänker jag mig att det ser ut typ såhär..

A och C är ju liksom.. vinklar åt motsatt håll från cirkeln. Förstår inte vad den ska bidra med för skillnad överhuvudtaget egentligen. Nu glömde jag dra ena hörnet till cirkelns rand där ser jag..

En sats, som visas med med mittpunkts- och randvinklar (är reglerna för dem bekanta?), säger att summan av motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är 180 grader. Så det är detta som informationen skall användas till. 

D v s A + C =180 (= D+B , men den informationen behövs inte här)

Vilken trigonometrisk sats kan vara lämplig att nu använda?

Nej har glömt dem sedan länge. Får läsa på igen.

Vet inte riktigt vad som är lämpligt. Ja cosinussatsen måste användas för svaret då men.

Jag skippar det här, känns mer som en kuggfråga än något annat 

Precis som du skriver, cosinussatsen bör användas.
Jag satte in några beteckningar på din bild.
Diagonalen från B till D kallade jag för c. Den är gemensam för triangel ABD och triangel BCD.
Då kan vi teckna två cosinussatser med c²=........
En för vardera triangeln.
Sedan sätter vi de två satserna lika med varandra och c² försvinner. Där är det lätt att göra fel sedan ,men ju noggrannare man är och tar ett steg i taget så löser det uppgift a)
Jag försökte ta genvägar och hålla vissa delar i huvudet och det slutade som vanligt i "krasch bom bang"
men som sagt en sak i taget och så gick det bättre.

B)-uppgiften var knepigare. Jag kommer inte på något riktigt bra sätt att ta den. Hoppas någon läser detta och nappar.

Mitt bästa så här långt är att använda grafräknare. Den första grafen Y₁ är  svaret i a) omvandlat till grader.

Den andra grafen Y₂ är det faktum att vinkel A är (180-C) omvandlat till grader eftersom vi har en fyrhörning inskriven i en cirkel. Där graferna korsar varandra får vi svaret.

$$\begin{gathered} Y_1={\cos }^{-1}\frac{(1+16\cos (x\left)\right)}{15}\approx 91,8486 \\ {Y}_2={\cos }^{-1}(\cos 180-X) \approx 88,1514 \end{gathered}$$

Av en slump konstaterade jag att ett exakt svar på $\cos \left(A\right)=\frac{1}{31}$, men det känns inte som om jag hittade rätt metod?

Man behöver känna till tre saker för uppgift b):

- Summan av två motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är 180 grader (detta kan visas med randvinklar och mittpunktsvinklar)

- Att alltså A = 180 -C innebär att cos A = -cos C (detta kommer ur grundläggande kunskap om sin- och cos-

funktionerna)

- Att BD kan skrivas på två sätt med cosinussatsen, för dels DAB, dels DCB, se uttrycken i bilden.

Sätter man in cos C =-cos A där får man en ekvation för cos A.

Jag är lite ringrostig nu. Det är snart tre år sedan jag var som mest aktiv. Av någon anledning blev jag osäker på just det du beskriver ovan.

Raden "Sätter man in cos C =-cos A där får man en ekvation för cos A." var den som jag använde för att få fram att $\cos \left(A\right)=\frac{1}{31}$men jag kände mig osäker på om det gällde alltid av någon anledning. Så ja repetition och lite mer tid i läroböckerna behövs för att uppehålla kunskaperna.

Tack för ett bra svar!

Finns det någon anledning varför man inte vill använda resultatet av deluppgift (a)? Den säger ju att $\cos A = \dfrac{1+16 \cos C}{15}$. Nu kan man sätta in $\cos C = -\cos A$ och lösa ut $\cos A$:

$\cos A = \dfrac{1-16 \cos A}{15}$, vilket ger $\cos A = \dfrac{1}{31}$.

Nej 😊det var precis det jag gjorde, när mina inre tvivel slog till om jag verkligen kunde göra så.
Det såg för enkelt ut för att vara sant efter att jag stirrat på uppgiften i omgångar ett par dagar.

Så jag hoppas att Dkcre kan få nytta av detta nu. Om inte så hoppas jag verkligen att han frågar vidare!

Går igenom vid tillfälle, men det är lite svårt 🙂

Tack.