54 svar
4622 visningar
Smutstvätt är nöjd med hjälpen
Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 19 mar 2023 20:39 Redigerad: 13 jun 2023 14:42

Matematik- och fysikprovet 2022: Lösningsförslag

Hej! ConnyN och jag har tillsammans tagit fram lösningsförslag till det senaste matte- och fysikprovet (2022). I denna tråd presenterar vi våra förslag. Om ni har frågor eller förbättringar, skriv gärna ett inlägg här i tråden, eller skapa en ny tråd med en länk till denna. :)

Varmt lycka till om ni ska skriva provet!

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 19 mar 2023 20:39 Redigerad: 5 maj 2023 19:24

Plats för formelsamling och allmänna förslag och tips.


Formler, tips och tricks från detta prov: 

I våra lösningsförslag förekommer:

▢ Pythagoras sats

▢ Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

▢ Kubreglerna: 

a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3

▢ Konjugatregeln för kuber / Sum & difference of cubes:

a3+b3=a+ba2-ab+b2a3-b3=a-ba2+ab+b2

▢ PQ-formeln

x2=x

▢ Hantering av absolutbelopp

▢ Potenslagarna

▢ Logaritmlagarna

▢ Lösningar av trigonometriska ekvationer

▢ Trigonometriska ettan

▢ Dubbla vinkeln för sinus och cosinus

▢ Cosinussatsen

▢ Derivering av polynom, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner samt exponentialfunktioner

▢ Kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln

▢ Gränsvärden, både mot ett värde och mot positiv/negativ oändlighet

▢ Geometriska summor

 

Metoder som används är exempelvis:

▢ Användning av enhetscirkeln

▢ Sambandet mellan en andragradsekvation på formen x2+px+q=0x^2+px+q=0 och dess rötter x1x_1 och x2x_2:

-x1+x2=px1·x2=q

▢ Beräkningar med olikheter

▢ Användning av likformighet

▢ Beräkning gränsvärden, både från höger och från vänster, samt gränsvärden där en variabel går mot noll eller positiv/negativ oändlighet

 


Vad tas upp på MaFy-provet? 

MaFy-provets hemsida skriver följande om vad som prövas på matematikdelen av provet: 

  • Hantering av algebraiska uttryck (potenser, rötter, polynom, rationella uttryck, kvadratkomplettering, faktorisering)
  • Funktioner (polynom, rationella funktioner, exponential- och logaritmfunktioner, potensfunktioner, trigonometriska funktioner; derivator, deriveringsregler, derivatans koppling till växande/avtagande, lokala/globala extrema; enkla primitiva funktioner och integraler)
  • Trigonometri (triangelsatserna; trigonometriska formler)
  • Absolutbelopp
  • Ekvationer och olikheter som involverar uttryck och funktioner av typerna listade ovan
  • Geometri (kongruens, likformighet; rand- och medelpunktsvinklar; höjder, bisektriser och medianer i en triangel; Pythagoras sats och dess omvändning; koordinatgeometri)

Beskrivningarna inom parenteser är förstås inte uttömmande. Enstaka frågor av mer allmän karaktär eller utanför dessa områden kan förekomma.


Vad får jag ta med till provet? 

MaFy-provets hemsida skriver följande om vilka hjälpmedel som är tillåtna: 

Provdeltagare får bara ta med skrivmateriel. Skrivmateriel innebär tex pennor, suddgummi, passare och linjal. Högskolan tillhandahåller extra skrivpapper. Inga andra hjälpmedel är tillåtna om inte tillstånd har beviljats på grund av särskilda behov.

Med hjälp av en pappersbit och en passare kan en enkel gradskiva konstrueras. Det kan underlätta för att kontrollera rimligheten i en lösning vid behov. 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 19 mar 2023 20:47 Redigerad: 29 apr 2023 21:40

1. Om a=53b=153 och x=a+b2-a-b2ab så gäller att x är lika med

(a): 253

(b): 253

(c): 4

(d): inget av (a)-(c)


Börja med att förenkla täljaren genom att använda kvadreringsreglerna: 

x=a2+2ab+b2-a2-2ab+b2ab=a+2ab+b-a-2ab+bab=4abab=4ab

 

Vi kan nu sätta in a och b:s värden: 

x=453·153=453·153=4

 

Svar: (c), 4.


Tillägg: 10 apr 2023 15:02

Alternativ lösning (credit till Dracaena): 

Konjugatregeln lyder: x2-y2=(x+y)(x-y). Det innebär att täljaren kan skrivas om: 

x=a+b2-a-b2ab=a+b+a-b2a·a+b-a-b2bab=4abab=4ab

Notera även att ab=1ab=1, eftersom b är inversen av a, dvs. b=1a. Därmed är x=4ab=41=4.

 

Svar: (c), 4.




Uppgifter som liknar denna:

1. Om a=5a=\sqrt{5}, b=2b=\sqrt{2} och x=b3ab+2-2ba2-b2 så gäller att x är lika med

(a): 10

(b): 2

(c): 3102

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 10\sqrt{10}.

 

2. Om a=256a=256, b=9b=9 och x=a2b+2ab34+ab2aab-bab, så gäller att x är lika med

(a): 4-344+34

(b): 4+334-33

(c): 4+34-3

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), 4+34-3

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 19 mar 2023 20:58 Redigerad: 10 apr 2023 15:16

2. Om a=13a=\frac{1}{3}, b=2b=2 och x=a+b3-a-b3ab, så gäller att x är lika med:

(a): 36

(b): 62

(c): 36+62

(d): inget av (a)-(c)


Även här underlättar det att förenkla innan värdena sätts in. Kuberna i täljaren kan utvecklas med hjälp av kubregeln (ett specialfall av binomialsatsen). Det går även att multiplicera ihop två av faktorerna med kvadreringsreglerna först, och sedan multiplicera den produkten med den tredje faktorn. Detta tar dock längre tid. 

x=a+b3-a-b3ab=a3+3ab+3ba+b3-a3-3ab+3ba-b3ab=6ab+2b3ab

Nu har vi ett betydligt mindre uttryck att arbeta med. Insättning av a och b:s värden ger nu att: 

6·13·2+22313·2=2·2+4223=32·221+2=92

 

Svar: (d), inget av (a)-(c)


Tillägg: 10 apr 2023 15:15

Alternativ lösning (credit till Dracaena): 

Här kan konceptet difference of cubes användas. Sambandet lyder: 

x3y3=(xy)(x2+xy+y2)

I denna uppgift är x=a+b och y=a-b. Det är viktigt att inte sätta in de numeriska värdena av a och b för tidigt. Så länge vi fortfarande kan förenkla, är det bättre att hålla sig till a och b. Det innebär att de två faktorerna (x-y)(x-y) samt (x2+xy+y2)(x^2+xy+y^2) kan förenklas till: 

(x-y): a+b-a-b=2b

respektive:

x2+xy+y2: a+b2+a+ba-b+a-b2=a+2ab+b+a-b+a-2ab+b=3a+b

Allt som allt kan vi därför skriva om x till x=2b3a+bab

 

Nu kan vi stoppa in värdena av a och b, och beräkna värdet: 

x=2b3a+bab=223·13+213·2=6223=92

 

Svar: (d), inget av (a)-(c).

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 13:00 Redigerad: 14 maj 2023 12:09

3. Om a och b är positiva reella tal och x=a2+2ab+b2-a2-2ab+b2 så gäller att x är lika med

(a): 2a

(b): 2b

(c): 2ab

(d): inget av (a)-(c)


En fullständig lösning är följande:

Genom att identifiera att uttrycken under rottecknen är utvecklade kvadrater, kan vi snabbt göra omskrivningen: 

x=a2+2ab+b2-a2-2ab+b2=a+b2-a-b2

Det gäller att z2=z, vilket vi kan använda för att göra omskrivningen x=a+b-a-b. Nu har vi två intervall, ab och a<b. I det första intervallet blir x=a+b-a-b=2b. I det andra intervallet blir x=a+b--(a-b)=2a. Därför gäller varken svarsalternativ a, b eller c. 

Svar: (d): inget av (a)-(c).

 

En snabbare metod som kan användas är att pröva med exemplet a=ba=b. Då får vi att: 

x=a2+2a·a+a2-a2-2a·a+a2=4a2-0=|2a|

vars värde är antingen +2a eller -2a beroende på om a (och därmed b) är positivt eller negativt. 

Svar: (d): inget av (a)-(c).

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Om a och b är positiva reella tal och x=a2-4ab+4b2-a+2b så gäller att x är lika med

(a): -4b-4b

(b): -2a-2a

(c): 4b4b

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(d), inget av (a)-(c)

(värdet av x varierar beroende på vilka värden a och b har)

 

2. Om a och b är positiva reella tal och x=9a2-18ab+b223a-b så gäller att x är lika med

(a): -12-\frac{1}{2}

(b): 00

(c): 12\frac{1}{2}

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), 12\frac{1}{2}.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 13:11 Redigerad: 29 apr 2023 22:30

4. Om 0<a<1 och b>2b>2 så gäller att

(a): 1a+1b>3

(b): 1a+1b>32

(c): 1a+1b>1

(d): inget av (a)-(c)


Det är alltid en bra idé att pröva med några enkla värden, exempelvis a=0,5a=0,5 och b=4b=4 lika med 2,25. Detta utesluter alternativ (a). 

Helst vill vi minimera värdet av 1a+1b, eftersom vi letar efter en undre gräns, vilket vi gör genom att maximera nämnarna. a kommer då att bli så nära 1 som möjligt, och b så stort som möjligt. Genom att prova med a=1011a=\frac{10}{11} och b=10b=10 får vi enkla värden, och detta ger oss: 

1a+1b=110/11+110=1210=1,2

Detta utesluter alternativ (b). 

Frågan är dock om det finns en undre gräns, och i så fall om den gränsen är 1. Här går det att göra en kvalificerad gissning och säga att alternativ (c) är rätt. Detta sparar tid, men vi har inte egentligen bevisat att detta är korrekt. 

En formell beräkning är följande: 

lima1limb1a+1b=lima11a1+limb1b0=1+0=1

Svar: (c), 1a+1b>1




Uppgifter som liknar denna:

1. Om 0<a<1 och b>2, och olikheten 2a+12b>x gäller, vilket är det största värdet som x kan anta?

(a): 32

(b): 53

(c): 1

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(b), 53.

Den undre gränsen för värdets uttryck är 74\frac{7}{4}.

 

2. Om 0<a<1 och b>2b>2 så gäller att

(a): 2a2+13b>2

(b): 2a2+13b>52

(c): 2a2+13b>3

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 2a2+13b>2.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 13:20 Redigerad: 29 apr 2023 22:56

5. Om 0<a<1 och b>2b>2 så gäller att 

(a): 1a-1b>32

(b): 1a-1b>1

(c): 1a-1b>12

(d): inget av (a)-(c)


Även här är det lämpligt att prova med några värden till att börja med. Exemplet med a=1011a=\frac{10}{11} och b=10b=10 i uppgift (5) ger här värdet

1a-1b=110/11-110=1

vilket i ett svep utesluter både alternativ (a) och (b). Frågan är då om (c) eller (d) är rätt. 

För att minimera värdet i vänsterledet, behöver vi minimera 1a och maximera 1b. Detta gör vi genom att låta a gå mot 1, och b gå mot 2. Detta ger oss gränsvärdet: 

lima11a-limb21b=1-12=12

 

Svar: (c), 1a-1b>12




Uppgifter som liknar denna:

1. Om 0<a<1 och b>2 så gäller att

(a): 1a-2b2>12

(b): 1a-2b2>1

(c): 1a-2b2>32

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 12

 

2. Om 0<a<1och b>2, och olikheten 1b2-3a>x gäller, vilket är det största värdet som x kan anta?

(a): 0

(b): 12

(c): 1

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(d) – uttrycket 1b2-3a saknar minsta värde för våra värden på a och b.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 15:16 Redigerad: 30 apr 2023 17:49

6. Om xy=x2+xy+y2 för alla reella tal x och y, och de reella talen a och b är sådana att ab>0, så kan man dra slutsatsen att

(a): a2+b20a^2+b^2\neq0

(b): a>0a>0 och b>0b>0

(c): a+b0a+b\neq0

(d): inget av (a)-(c) behöver gälla


Vad betyder symbolen ⊞?

Denna typ av fråga testar utöver algebra och logik, även kunskaperna kring funktioner och hur de definieras. Symbolen ⊞ betyder ingenting speciellt inom matematiken – den har ingen allmänt vedertagen definition. Här i uppgiften definieras den som xy=x2+xy+y2, men det skulle gå lika bra att använda symbolen till vilken annan funktion som helst. 

Ur en matematisk aspekt är även mer vedertagna tecken som plus, minus och gånger bara ett annat sätt att skriva en funktion. Beräkningen x2x^2 kan skrivas som funktionen f(x)=x·x eller till och med f(x,y)=x+x+...+xx termer. Men i och med att plus, minus, gånger, division, upphöjt till två, etc. är så vanligt förekommande har det vuxit fram enkla symboler för dem. Plustecknet tros ha vuxit fram i samband med tecknet "&". 

Det kan vara lättare att tänka på x⊞y = x2+xy+y2 som funktionen f(x,y)=x2+xy+y2

Vi har fått informationen att ab>0, dvs. att a2+ab+b2>0. Frågan är nu om detta medför att något av svarsalternativen måste vara sant. Vi kan testa detta genom att testa om det går att bryta mot påståendet i respektive svarsalternativ, medan kravet att a2+ab+b2>0 fortfarande är uppfyllt. 

(b): Kan vi säkert säga att både a och b ska vara större än noll? Vad händer om a är 1 och b är noll? Då får vi att 12+1·0+02, vilket är större än noll. Vi kan därför inte säkert säga att a och b båda är större än noll, och det går därför inte att säga att a>0a>0 och b>0b>0

(c): Kan vi säkert säga att a+b0a+b\neq0? Detta villkor är inte sant om a=-ba=-b. Vi undersöker den situationen. Olikheten som måste gälla är att a2+ab+b2>0. När a=-ba=-b blir denna olikhet: 

a2+ab+b2=(-b)2+(-b)b+b2=2b2-b2=b2

Eftersom a och b är reella, är b2b^2 större än eller lika med noll för alla värden på b. Frågan är då om b kan vara noll. Om b får vara noll, faller olikheten b2>0b^2>0

Om b är noll, måste även a vara noll, eftersom vi undersöker situationen a=-ba=-b. Om både a och b är noll, uppfylls inte olikheten a2+ab+b2>0, som uppgiften kräver. Det betyder att b inte kan vara noll. Vi kan då säkert dra slutsatsen att b2>0b^2>0, och därmed kan värden på a och b sådana att a=-ba=-b uppfylla uppgiftens krav. Det går alltså inte att säga att a+b=0a+b=0

(a): Kan det vara så att a2+b2=0a^2+b^2=0? Det kan skrivas om till a2=-b2a^2=-b^2. För reella tal är den likheten endast uppfylld för a=b=0a=b=0. Uppgiften kräver att uttrycket a2+ab+b2 ska vara större än noll. Men om både a och b är noll, är den olikheten inte uppfylld. Det finns alltså inga tal a och b sådana att a2+b2=0a^2+b^2=0, som också uppfyller att a2+ab+b2>0a^2+ab+b^2>0. Vi kan därför vara säkra på att det kravet gäller. 

 

Svar: (a), a2+b20a^2+b^2\neq0.




Uppgifter som liknar denna: 

1. Om xy=xy2+yx2 för alla reella tal x och y, och de reella talen a och b uppfyller att ab är jämnt, så kan man dra slutsatsen att

(a): -xy=x(-y)

(b): -xy=-x-y

(c): x2y2

(d): inget av (a)-(c) behöver gälla

Svar:

(b), -xy=-x-y.

 

2. Om xy=1x2-y2 för alla reella tal x och y, och de reella talen a och b uppfyller att ab>0, då kan man dra slutsatsen att

(a): a+b>0

(b): a>b

(c): 1a+b>0

(d): inget av (a)-(c) behöver gälla

Svar:

(d), inget av (a)-(c) behöver gälla.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 16:20 Redigerad: 8 maj 21:10

7. Talet x är sådant att x2>xx^2>x. Man kan då dra slutsatsen att

(a): x<0

(b): x>1x>1

(c): x<0x<0 eller x>1x>1

(d) inget av (a)-(c)


Denna uppgift går att lösa genom faktorisering, eller genom att prova med olika tal. 

Faktorisering: 

x2>xx^2>x kan skrivas om till x2-x>0x^2-x>0, som kan faktoriseras till x(x-1)>0x(x-1)>0. Om x är mellan noll och ett, är x positivt, men (x-1)(x-1) negativt, vilket ger en negativ produkt, och då är olikheten inte uppfylld. Men om x är mindre än noll, eller större än ett är olikheten uppfylld, vilket ger oss svaret (c), x<>x<> eller x>1x>1

 

Pröva med olika tal: 

Testa likheten med: 

  • Stora och små negativa tal
  • Noll
  • Stora och små positiva tal

 

  • Stora och små negativa tal:
    Om x=-10x=-10, får vi olikheten (-10)2=100>-10(-10)^2=100>-10, vilket stämmer. 
    Om x=-0,1x=-0,1 får vi olikheten (-0,1)2=0,01>-0,1(-0,1)^2=0,01>-0,1, vilket stämmer. 
  • Noll: 
    Om x=0x=0 får vi olikheten 02=0>00^2=0>0, vilket inte stämmer. 
  • Stora och små positiva tal: 
    Om x=10x=10 får vi olikheten 102=100>1010^2=100>10, vilket stämmer. 
    Om x=0,1x=0,1 får vi olikheten 0,12=0,01>0,10,1^2=0,01>0,1, vilket inte stämmer. 

För negativa tal, samt för lite större positiva tal är olikheten uppfylld, men inte för små. Hur är det med 0,5? 1? 1,5? 

0,52=0,25>0,50,5^2=0,25>0,5 stämmer inte. 

12=1>11^2=1>1 stämmer inte.

1,52=2,25>1,51,5^2=2,25>1,5 den olikheten stämmer. 

Det verkar alltså som att gränsen för positiva tal går vid 1. 

 

 

Svar: (c), x<0 eller x>1x>1

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Talet x är sådant att 2x2>-x. Man kan då dra slutsatsen att

(a): x<-12 och x>0

(b): 0<x<12

(c): x>12

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), x<-12 och x>0

 

2. Talet x är sådant att x3>4x. Man kan då dra slutsatsen att

(a): 0<x<2 och x<-2

(b): -2<x<0

(c): -2<x<0 och x>2

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), -2<x<0 och x>2

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 26 mar 2023 17:23 Redigerad: 30 apr 2023 18:27

8. Antalet heltalslösningar till olikheten 1x>1x-4 är

(a): 0

(b): 4

(c): 5

(d): inget av (a)-(c)


Här kan man antingen pröva sig fram eller lösa olikheten algebraiskt. Det går även att rita, för den som känner sig bekväm med det. 

Pröva sig fram: 

Om x är negativt, säg -2, får vi följande olikhet: 1-2>1-2-4 -12>-16, vilket inte är sant. x>x-4x>x-4 för alla negativa tal, vilket medför att 1x är mindre än 1x-4 för alla negativa tal. I intervallet x<>x<> finns inga lösningar att hitta, med andra ord. 

Om x är noll är vänsterledet odefinierat, och det kan därför inte vara en lösning. Hur är det med små positiva heltal som 1 och 2? 

x=1: 11>11-41>-13 x=2: 12>12-40,5>-0,5 

Båda stämmer. x=3x=3 ger olikheten 13>-1\frac{1}{3}>-1, vilket också stämmer. För x=4x=4 är högerledet inte definierat. 

Håller olikheten för x=5x=5

15>15-415>1 

Nej. Inte heller större värden på x, såsom x=10x=10 eller x=100x=100 fungerar. Det verkar med med andra ord finnas tre lösningar.

Svar: (d), inget av (a)-(c).

 

Algebraisk lösning: 

Det går att multiplicera båda led med x och sedan x-4x-4, men eftersom vi har en olikhet måste vi då ta stor hänsyn till vilket tecken x har. Ett enklare sätt är att skriva båda bråk på samma bråkstreck: 

1x-1x-4>0(x-4)-xx(x-4)>0-4x(x-4)>0

Denna olikhet är sann endast om nämnaren är negativ. Det går att göra en teckentabell, men för att spara tid kan vi konstatera att både x och x-4x-4 måste ha olika tecken, vilket de har endast om x ligger i intervallet 0 till 4. Om x är noll eller fyra är bråket odefinierat (nämnaren blir noll), vilket ger totalt tre heltalslösningar: 1, 2 och 3. 

Svar: (d), inget av (a) till (c). 

 

Rita: 

Här är det en stor fördel att använda rutigt papper, för att få till raka och jämna koordinataxlar. Det går självklart att rita med en linjal också, men det tar längre tid och risken för fel ökar. 

En skiss av de två funktionerna f(x)=1x och g(x)=1x-4 ser ut ungefär som nedan. Vi letar efter de områden där f(x)>g(x)

(g(x) är endast f(x) fast förskjuten fyra steg åt höger i x-led)

Endast i den gröna rutan ligger f(x) över g(x). I intervallet finns tre heltalsvärden som uppfyller olikheten. 

Svar: (d), inget av (a) till (c). 

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Antalet negativa heltalslösningar till olikheten 52x-414+x är: 

(a): 3

(b): 4

(c): 5

(d): inget av (a)-(c)

Visa spoiler

(b), 4.

 

2. Antalet heltalslösningar till olikheten 2x-2<x-2+x är

(a): 0 

(b): 4

(c): 10

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(d), inget av (a)-(c).

Olikheten är uppfylld för alla x (ett oändligt antal lösningar). 

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 27 mar 2023 17:41 Redigerad: 30 apr 2023 21:46

9. Givet är ekvationen 2x2+x+p=02x^2+x+p=0, där p är ett negativt tal. För ekvationen gäller då att

(a): den har två olika icke-reella lösningar

(b): den har två reella lösningar med olika tecken

(c): den har två reella lösningar med samma tecken

(d): inget av (a)-(c) behöver gälla generellt


Denna uppgift kan lösas grafiskt, eller algebraiskt. 

Grafisk lösning: Rita upp grafen till f(x)=2x2+xf(x)=2x^2+x. Den har sin minimipunkt i origo. Grafen till f(x)+pf(x)+p är då f(x) men förskjuten i y-led. Eftersom p är negativt, hamnar minimipunkten under x-axeln, i punkten (0,p)(0,p). Det innebär att den ena sidan av grafen kommer att skära x-axeln då x>0x>0 och den andra sidan av grafen kommer att skära x-axeln då x<0x<>. Det måste därför finnas två reella lösningar med olika tecken.

 

Algebraisk lösning: Hur många och vilka lösningar har ekvationen 2x2+x+p=02x^2+x+p=0, för p<0p<>

För att kunna använda PQ-formeln behöver vi en ekvation på formen x2+px+q=0:

2x2+x+p=0x2+x2+p2=0

PQ-formeln ger nu att: 

x=-14±-142-p2=x=-14±116-p2=-14±1-8p16

Eftersom p är ett negativt tal kommer ekvationen att ha reella lösningar för alla p. När p är ett större negativt tal, blir skillnaden mellan de två lösningarna större. Om p0+p\rightarrow0^+ kommer värdet på x att gå mot:

x=limp0+-14±1-8p16=-14±14x1=0; x2=-12

Men eftersom p>0p>0 kommer alla lösningar att vara reella och ha olika tecken.

 

Svar: (b), den har två reella lösningar med olika tecken.




Uppgifter som liknar denna: 

Vilket av följande alternativ gäller för respektive ekvation nedan? 

(a): den har två olika icke-reella lösningar

(b): den har två reella lösningar med olika tecken

(c): den har två reella lösningar med samma tecken

(d): inget av (a)-(c) behöver gälla generellt

 

1. px2-10px+25p+1=0, p<>p<>.

2. px2+8x-4+p=0, p>0p>0.

3. 4x2+3x-p=1, p är ett positivt tal

Svar:

1. (c), den har två reella lösningar med samma tecken

2. (d), inget av (a)-(c) behöver gälla generellt

3. (b), den har två reella lösningar med olika tecken

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 27 mar 2023 18:00 Redigerad: 30 apr 2023 21:45

10. Antalet lösningar till ekvationen sinx2=1 i intervallet (-2π, π) är: 

(a): 1

(b): 2

(c): 3

(d): inget av (a) till (c)


Här är den kanske enklaste metoden att rita. Börja med rita upp grafen till f(x)=sinx2

Absolutbeloppet innebär att alla negativa värden speglas i x-axeln, vilket ger nedanstående skiss: 

Var skär den grafen linjen y=1y=1? I vår skiss ser vi att skärningspunkterna är:

Två skärningspunkter. Men! Det är ett öppet intervall -2π,π, vilket innebär att endast x=-π är en godtagbar lösning. 

Svar: (a), 1.




Uppgifter som liknar denna: 

1. Antalet lösningar till ekvationen cosx4=12 i intervallet -3π, 2π:

(a): 2

(b): 3

(c): 4

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(b), 3.

 

2. Antalet lösningar till ekvationen tanx-π22=1 i intervallet -π, 2π:

(a): 0

(b): 1

(c): 2

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), 2. 

 

3. Antalet lösningar till ekvationen sinx=x2 i intervallet -π, 2π:

(a): 2

(b): 3

(c): 4

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 2.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 27 mar 2023 20:30 Redigerad: 30 apr 2023 21:45

11. Summan S=1+12+14+...+122022 är lika med 

(a): 222022-1

(b): 22022-12

(c): 22022-122021

(d): inget av (a) till (c)


Detta är en geometrisk summa, som kan skrivas om till S=120+121+122+...+122022

Det kan vara värt att notera att summan verkar gå mot 2, kanske 3 – ett ganska litet tal i alla fall. Både alternativ (a) och (b) utgör enormt stora tal (över 22000), och kan därför uteslutas direkt. 

En geometrisk summa på formen a+ak+ak2+...+akn har summan S=akn+1-1k-1. I vårt fall är a=1a=1 och k=12k=\frac{1}{2}, vilket ger summan: 

S=122022+1-112-1=-2122023-1=2-122022=även22023-122022

Detta uttryck stämmer inte med något av svarsalternativen, och framförallt inte med det enda alternativ vi inte redan uteslutit. Därför blir svaret (d), inget av (a)-(c). 

 

Svar: (d), inget av (a) till (c).




Uppgifter som liknar denna: 

1. Summan 2+43+89+...+2200132000 är lika med

(a): 6-2200232001

(b): 6-2200132000

(c): 6-2200232000

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), 6-2200232000

 

2. Summan 164+1256+...+14100 är lika med

(a): 43-13·4100-2116

(b): 4101-13·4100

(c): 43-2116

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 43-13·4100-2116.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 28 mar 2023 17:16 Redigerad: 30 apr 2023 21:58

12. För alla positiva reella tal x,yx,y gäller att 

(a): x+y=x+y

(b): xy=x·y

(c): x+y=x·y

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt


Potenslagarna säger att ac·bc=abc (för positiva, reella tal). Detta gäller även för rötter (a:te roten ur är en potens med exponenten 1a). Därför är alternativ (b) korrekt. 

 

Det går även bra att prova några tal, för att utesluta felaktiga alternativ. Det kan vara hjälpsamt att testa med kvadrattal, för att inte behöva räkna med krångliga rötter, men det är inte strikt nödvändigt. 

x=1, y=4x=1,\;y=4

(a): 

1+4=1+45=1+253

(a) kan uteslutas. 

(b): 

1·4=1·44=1·22=2

(korrekt)

(c): 

1+4=1·45=1·252

(c) kan uteslutas.

 

Självklart är detta inget bevis, och det skulle absolut kunna vara en slump att (b) stämmer för just dessa värden, men för den som känner sig osäker på potenslagarna, kan det vara värt att utesluta alternativ. 

(b), xy=x·y




Uppgifter som liknar denna: 

1. För alla positiva reella tal a, b och c gäller att 

(a): ab+c=abc

(b): abc=acb

(c): abc=ab·c

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt

Svar:

(d), inget av (a)-(c) gäller generellt.

 

2. För alla positiva reella tal a, b och c gäller att 

(a): ac·bc=a+bc

(b): ac·bc=a·bc

(c): ac·bc=ac+bcc

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt

Svar:

(b), ac·bc=a·bc

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 28 mar 2023 17:18 Redigerad: 30 apr 2023 22:05

13. För alla positiva reella tal x,yx,y gäller att

(a): ln(x+y)=ln(x)+ln(y)

(b): ln(xy)=ln(x)·ln(y)

(c): ln(x+y)=ln(x)·ln(y)

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt


Här hjälper kunskap om logaritmlagarna. Den logaritmlag som är närmast de likheter som finns som alternativ är ln(xy)=ln(x)+ln(y), men någon sådan ekvation saknas bland alternativen. Därför blir svaret (d), inget av (a)-(c) gäller generellt. 

Det kan även hjälpa att prova sig fram. Det hjälper då att välja tal som är lätta att logaritmera, exempelvis potenser av e. 

Exemplet x=1, y=e3x=1,\;y=e^3 ger följande resultat: 

(a): 

ln1+e3=?ln(1)0+ln(e3)ln(1+e3)0+ln(e3)

 

(b): 

ln(1·e3)=?ln(1)·ln(e3)

ln(1) är noll, och ln(e3) är 3. Det ger oss

3=0·3

vilket inte är sant.

(c): 

ln(1+e3)=?ln(1)·ln(e3)

Även här får vi att ln(1) är noll, och ln(e3) är 3, vilket ger

ln(1+e3)=?0·3ln(1+e3)0

Inget av alternativen fungerar för vårt exempel. Vi kan därför konstatera att svaret är (d). 

 

Svar: (d), inget av (a)-(c)




Uppgifter som liknar denna: 

1. För alla positiva reella tal x och y gäller att 

(a): lnab=lna-b

(b): lna-b=ab

(c): lnab=ln(a)-ln(b)

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt

Svar: 

(c), lnab=ln(a)-ln(b).

 

2. För alla positiva reella tal x och y gäller att 

(a): ln(ab)=ln(a)·ln(b)

(b): ln(ab)=b·ln(a)

(c): lnab=a·ln(b)

(d): inget av (a)-(c) gäller generellt

Svar:

(b), lnab=a·ln(b).

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 28 mar 2023 17:20 Redigerad: 30 mar 2023 20:42

14. Om sin(α)=p och π<α<2π så gäller att cos(α) är lika med

(a): 1-p2

(b): -1-p2

(c): ±1-p2

(d): inget av (a)-(c)


Vinkeln alfa ligger på enhetscirkeln i den tredje eller fjärde kvadranten:

 

Trigonometriska ettan gör att vi kan hitta ett värde på cosinus: 

sin2αp2+cos2α=1cos(α)=±?1-p2

Beroende på vilken kvadrant vinkeln alfa ligger i, kommer tecknet framför rotuttrycket att bli positivt eller negativt. Men eftersom värdet av cos(α) söks, söker vi värdet av ±?1-p2, så oavsett vilket tecken cos(α)\cos{(\alpha)} har, kommer värdet av |cos(α)||\cos{(\alpha)}| att vara positivt. 

Värdet av 1-p2 är alltid positivt eller eller noll. Vi kan därför säkert säga att cos(α)=1-p2

 

Svar: (a), 1-p2


Tillägg: 1 maj 2023 17:58




Uppgifter som liknar denna: 

1. Om cosx=1p och π2<x<3π2 så gäller att -sinx är lika med

(a): -p2-1p

(b): p2-1p

(c): p2-1p

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(d), inget av (a)-(c). 

Det beror på om vinkeln x ligger i andra eller tredje kvadranten.

 

2. Om sin2x=p och -π4<x<π4 så gäller att -cos2x är lika med

(a): 1-p2

(b): ±1-p2

(c): -1-p2

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(a), 1-p2

 

3. Om sin2x=-32 och 3π2<x<2π så gäller att -tanx är lika med

(a): 37

(b): -37

(c): ±37

(d): inget av (a)-(c)

Visa spoiler

(d), inget av (a)-(c). 

Värdemängden av funktionen f(x)=sin(2x)f(x)=\sin{(2x)} är -1f(x)1. Det finns därför ingen vinkel som uppfyller att f(x)=sin(2x)=-32f(x)=\sin{(2x)}=-\frac{3}{2}.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 28 mar 2023 17:22 Redigerad: 10 apr 2023 15:25

15. Om sin(α)=p och π<α<2π så gäller att tanα är lika med

(a): p1-p2

(b): -p1-p2

(c): ±p1-p2

(d): inget av (a)-(c)


Även i denna uppgift ligger vinkeln i tredje eller fjärde kvadranten: 

För tangensfunktioner gäller likheten tanx=sinxcosx. Täljaren har vi fått i uppgiften, och nämnaren kan vi beräkna med trigonometriska ettan: 

1=sin2x+cos2x1=p2+cos2αcos(α)=±tecken?1-p2

I dessa uppgifter är det viktigt att hålla isär ett tals tecken och talets storlek/värde. Vilket tecken värdet av cos(α) har varierar beroende på hur stor vinkeln är, men storleken är 1-p2. Men eftersom vi söker just tan(α), behöver vi titta noggrannare på täljarens och nämnarens tecken. Något som kan underlätta är att notera att ab=ab. Det innebär att tan(x)=sin(x)cos(x)=sin(x)cos(x)

 

  • sin(x)=p är negativ i hela intervallet. Absolutbeloppet av sin(x)\sin{(x)} kan därför skrivas som -p-p
  • cos(x)=±tecken?1-p2 har ett tecken som varierar beroende på intervallet. Viktigt att notera är dock att a0\sqrt a\geq0 för alla reella a. Det innebär att ±1-p2=1-p2, oavsett vilket tecken som gäller för en viss vinkel i intervallet.

 

Detta kan vi nu sätta ihop: 

tanx=sinxcosx=sinxcosx=-p1-p2=-p1-p2

 

Svar: (b), -p1-p2.


Tillägg: 1 maj 2023 20:35




Uppgifter som liknar denna: 

1. Om sin(x)=2p och π2<x<3π2 så gäller att -tan(x) är lika med

(a): -2p1-4p2

(b): 2p1-4p2

(c): ±2p1-4p2

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(b), 2p1-4p2

 

2. Om sinx=q och 0<x<π så gäller att -tanx är lika med

(a): q1-q2

(b): -q1-q2

(c): ±q1-q2

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(d), inget av (a)-(c).

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 30 mar 2023 20:40 Redigerad: 19 maj 2023 23:09

16. För alla reella x,yx,y gäller att 

(a): cosx+cosy=2sinx+y2sinx-y2

(b): cosx+cosy=2sinx+y2cosx-y2

(c): cosx+cosy=2sinx-y2cosx+y2

(d): cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2


Här är det lätt att börja försöka förenkla med additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus, och även om det inte är fel, är det en omväg. Det snabbaste sättet är troligtvis att testa med några enkla tal, exempelvis x=y=0x=y=0. Då får vi att vänsterledet i alla svarsalternativ ska vara lika med 2. Det vi kan notera är dock att x-y2=x+y2=0\frac{x-y}{2}=\frac{x+y}{2}=0, och sin(0)=0\sin{(0)}=0. För våra olika svarsalternativ får vi därför: 

(a): 2=2·0·0 [stämmer ej]

(b): 2=2·0·1 [stämmer ej]

(c): 2=2·0·1 [stämmer ej]

(d): 2=2·1·1 [korrekt]

 

Genom att utnyttja att sin(0) = 0, har vi nu med ett enda exempel uteslutit alla svar utom ett. 

 

Svar: (d), cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2




Uppgifter som liknar denna: 

1. För alla reella x,yx,y gäller att 

(a): cosx2=1+cosx2

(b): cosx2=1-cosx2

(c): cosx2=1+sinx2

(d): inget av (a)-(c) 

Svar:

(d), inget av (a)-(c).

 

2. För alla reella x,yx,y gäller att 

(a): tan2x=2tan(x)1-tan2(x)

(b): tan2x=2tan(x)1+tan2(x)

(c): tan2x=1-tan2(x)2tan(x)

(d): tan2x=1+tan2(x)2·tan(x)

Svar:

(a), tan2x=2tan(x)1-tan2(x).

 

3. För alla reella x,yx,y gäller att:

(a): tanx+y=tan(x)-tan(y)1-tan(x)tan(y)

(b): tanx+y=tan(x)+tan(y)1-tan(x)tan(y)

(c): tanx+y=tan(x)+tan(y)1+tan(x)tan(y)

(d): tanx+y=tan(x)-tan(y)1-tan(x)tan(y)

Svar:

(b), tanx+y=tan(x)+tan(y)1-tan(x)tan(y)

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 31 mar 2023 22:21 Redigerad: 19 maj 2023 23:20

17. Sträckan CP är höjd i triangeln ABC och punkten P ligger på sidan AB. Man kan då dra slutsatsen att

(a): sträckan CP delar vinkeln vid C i två lika delar

(b): AP=BP

(c): vinkeln vid C är trubbig

(d): inget av (a)-(c)


Här är det lättast att rita upp en eller några olika trianglar som uppfyller uppgiftens villkor, och undersöka om de olika svarsalternativen stämmer. Ett exempel är denna: 

Vilka svarsalternativ stämmer för denna triangel? 

(a): Nej, sträckan CP delar inte vinkeln vid C i två lika delar.

(b): Nej, sträckorna AP och BP är inte lika långa.

(c): Nej, vinkeln vid C är inte trubbig.

Vi har alltså hittat trianglar som motsäger svarsalternativ (a), (b) och (c).

 

Svar: (d), inget av (a)-(c).




Uppgifter som liknar denna: 

1. I triangeln ABC utgör sträckan BP en höjd i triangeln, och BP är dessutom en bisektris till vinken i hörnet B. Då gäller att

(a): Vinkeln i hörnet B är spetsig.

(b): Triangeln ABC är liksidig.

(c): AP=PC

(d): Inget av (a)-(c)

Svar:

(c), AP=PC.

 

2. I fyrhörningen ABCD finns triangeln ABD. Sträckan AP är en höjd i triangeln, och punkten P ligger på sidan BD. Då gäller att

(a): Förlängningen av höjden AP skär punkten C.

(b): BP=DP

(c): Diagonalerna AC och BD skär varandra i en rät vinkel.

(d): Inget av (a)-(c).

Svar:

(d), inget av (a)-(c).

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 31 mar 2023 22:39 Redigerad: 20 maj 2023 13:21

18. Två av höjderna i en triangel skär varandra och den spetsiga vinkeln mellan dem är 45°. Då gäller att

(a) en av triangelns vinklar är 45°

(b) en av triangelns vinklar är 135°

(c) det går inte att avgöra

(d) det fi􏰁nns ingen sådan triangel


Här behöver vi först (försöka) konstruera den/de trianglar som uppgiften pratar om. Börja med den information som getts i uppgiften: 

1. Två höjder skär varandra sådant att den spetsiga vinkeln mellan dem är 45°: 

Nu kan vi rita in de sidor som dessa höjder tillhör (höjder är alltid vinkelräta mot sina sidor): 

Den tredje sidan kan skära de heldragna linjerna lite hursomhelst, så vi får fokusera på den vinkel som bildats av de linjer vi känner till (vinkeln EGF). Vinkeln EHF är 180°-45°=135°180°-45°=135°, och vinklarna HEG samt GFH är räta (då de bildats av sidorna och deras vinkelräta höjder). Med en fyrhörnings vinkelsumma på 360° måste vinkeln FGE, som utgör en av triangelns tre hörn, vara 45°. 

 

Svar: (a), en av triangelns vinklar är 45°.




Uppgifter som liknar denna: 

1. I triangeln ABC finns tre höjder. Höjderna eller deras förlängningar skär varandra varken innanför eller utanför ABC. Då gäller att

(a): triangeln ABC är spetsig

(b): triangeln ABC är rät

(c): triangeln ABC är trubbig

(d): det finns ingen sådan triangel

Svar:

(b), triangeln ABC är rät. För räta trianglar skär höjderna (eller deras förlängningar) precis på randen av ABC, vilket varken är innanför eller utanför triangeln.

 

2. I triangeln ABC finns tre höjder som skär varandra på så sätt att en mindre triangel, DEF, bildas inuti ABC. Då gäller att

(a): Triangeln ABC är spetsig

(b): Triangeln ABC är rät

(c): Triangeln ABC är trubbig

(d): det finns ingen sådan triangel

Svar:

(d), det finns ingen sådan triangel. Höjderna i en triangel (eller deras förlängningar) skär alltid i en enda punkt. Skärningen i sig kan ligga utanför triangeln (om triangeln är trubbig), men det finns alltid en gemensam skärningspunkt.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 2 apr 2023 13:41 Redigerad: 20 maj 2023 13:27

19. Två av höjderna i en triangel skär inte varandra och den spetsiga vinkeln mellan deras förlängningar är 45°. Då gäller att

(a): en av triangelns vinklar är 45°

(b): en av triangelns vinklar är 135°

(c): det går inte att avgöra

(d): det fi􏰁nns ingen sådan triangel


För att en triangels höjder ska skära utanför triangeln måste triangeln vara trubbig. I denna uppgift är villkoret att två av höjderna skär varandra i en vinkel som är 45° stor. Vi får då två möjligheter. Antingen är det två intilliggande höjder som skär varandra i en 45° vinkel, eller är det de två höjder som inte ligger intill varandra som utgör den 45°-vinkeln. Skissa två trianglar som (ungefär) uppfyller respektive möjlighet: 

Närliggande höjder skär i 45° vinkel:

De två höjder som inte ligger intill varandra skär i 45° vinkel: 

Dessa bilder är exakta, men under provet räcker det med ungefärliga skisser. Tydligt är att det helt klart finns sådana trianglar, vilket utesluter alternativ (d). 

Den som känner sig säker nog på sina skisser kan redan här konstatera att vi har två helt olika trianglar, som inte har någon vinkel gemensamt, och att det därför inte går att säga något om hur stora vinklarna är. Då blir svaret (c), det går inte att avgöra. För den som känner sig osäker, går det bra att räkna lite snabbt. Då kan det vara bra att markera lite fler vinklar.

I fall ett får vi att: 

Eftersom sträckan EH utgör en höjd/normal till triangelns sida BC, kan vi säkert säga att vinkeln BEH är rät. Det innebär att vinkeln HBE måste vara 45°, eftersom vinkeln BHE är 45°. Samma logik kan appliceras på den triangel som bildats av punkterna C, E och H. Sträckan BF utgör en höjd till triangelns sida AC, vilket innebär att vinkeln BFC också är rät. Eftersom vinkeln CBF (samma som BHE) är 45°, måste även vinkeln BCF vara 45°. Denna vinkel ligger inom triangeln, och för detta fall stämmer alltså svarsalternativ (a). I en triangel med en 45°-vinkel kan ingen 135°-vinkel finnas, då vinkelsumman då blir för stor för triangeln. Därför kan alternativ (b) inte stämma för denna triangel.

Nu till fall två, där det är de två höjder som inte ligger intill varandra som skär varandra i en 45°-vinkel: 

Fyrhörningen AFHG har vinkelsumman 360°, varav vinklarna AFH och AGH är räta. Dessutom vet vi att vinkeln FHG är 45°, eftersom det är utgångspunkten för detta fall. Detta innebär att vinkeln GAF är 135°, och eftersom BAC och GAF är alternatvinklar, är de lika stora. En vinkel i vår triangel (ABC) är alltså 135°, vilket stämmer med svarsalternativ (b). I en triangel med en 135°-vinkel kan ingen 45°-vinkel finnas, då vinkelsumman då blir för stor för triangeln. Därför kan alternativ (a) inte stämma för denna triangel.

 

Slutsatsen vi kan dra av detta är att vi har två möjliga situationer när det gäller vilka höjder som utgör den 45°-iga vinkel som krävs i uppgiften, och dessa situationer medför att olika svarsalternativ är korrekta. Vi kan därmed inte säkert säga något om vinklarna i triangeln. 

 

Svar: (c), det går ej att avgöra.

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Höjderna i triangeln ABC skär inte varandra, men deras förlängningar skär varandra på så sätt att den största spetsiga vinkel som bildas vid skärningspunkten är 60°. Då kan slutsatsen dras att det i triangeln

(a): finns en trubbig vinkel

(b): finns två lika stora vinklar

(c): det går inte att avgöra vilka typer av vinklar som finns i triangeln

(d): någon sådan triangel finns inte. 

Svar:

(a), finns en trubbig vinkel.

 

2. I en triangel ABC skär höjderna, eller deras förlängningar, varandra. Då kan slutsatsen dras att

(a): Triangeln innehåller minst två spetsiga vinklar

(b): Triangeln innehåller tre spetsiga vinklar

(c): Triangeln innehåller minst en trubbig vinkel

(d): det går inte att avgöra

Svar: 

(a), triangeln innehåller minst två spetsiga vinklar.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 2 apr 2023 21:32 Redigerad: 20 maj 2023 14:17

20. De fyra punkterna A, B, C och D är olika och ligger i rummet så att trianglarna ABC, BCD, CAD och ABD alla är liksidiga (det vill säga ABCD är en regelbunden tetraeder). Vinkeln mellan de två planen som trianglarna ABC och ABD ligger i är

(a): mindre än 60°

(b): lika med 60°

(c): större än 60°

(d): det går inte att avgöra


Denna uppgift kan lösas på flera olika sätt, både geometriskt och algebraiskt. För enkelhetens skull kan vi sätta sidlängden till 1. 

Den vinkel vi vill hitta är vinkeln mellan två sidor. Genom att bilda en triangel som går från ett hörn, till mittpunkten på motstående sida, upp till det övre hörnet, och tillbaka längs sidan ned till utgångspunkten, får vi en triangel som innehåller just denna vinkel, nedan markerad med x.  

Denna triangel har en sida med sidlängs 1, och två sidor som utgörs av höjden i varsin (identisk) triangel. 

Höjden i en triangel är aldrig lika lång som dess sida. Det innebär att vår triangel ADE inte är liksidig, och att vinkeln x därför inte kan vara 60°, vilket utesluter alternativ (b). 

För den som känner sig bekväm med geometrin, kan vi redan här hitta svaret, utan fler beräkningar. Sidorna som utgörs av höjder (DE och AE) är kortare än sträckan AD. Om vi skulle utgå från en liksidig triangel, med vinkeln 60°, och sedan förkorta två av sidorna lika mycket, vad händer då med vinkeln mellan dessa två sidor? 

Skissa gärna innan du öppnar denna spoiler

Geometriskt motsvarar detta att hörnet som binder samman de två sidor vi förkortar, knuffas mot motstående sida: 

Vinkeln mellan dem kommer därför att öka. Det är precis detta som skett i vår triangel. Start i 60°, och sedan har hörnet med vinkeln x knuffats mot sidan mittemot. Svaret blir därför (c), större än 60°. 

För den som gärna vill räkna, kan cosinussatsen användas. Sidorna AE och DE utgör som sagt höjder i sina trianglar, och eftersom det är en regelbunden tetraeder, är dessa liksidiga. Deras sidlängder är ett, som vi bestämde. Detta medför att vi kan beräkna längden av sidorna AE och DE till 32, med hjälp av Pythagoras sats. 

Cosinussatsen säger att en triangel med sidorna a, b och c uppfyller sambandet a2=b2+c2-2bc·cos(α), där vinkeln alfa är vinkeln mittemot sidan a. I vårt fall innebär detta att a=1a=1b=c=32, och α=x\alpha=x. Cosinussatsen ger då: 

12=322+322-23232·cos(x)1=23221-cos(x)-23+1=cos(x)x=arccos13

Exakt vad arccosinus av 1/3 är, behöver vi inte veta eller beräkna. Det räcker med att notera att cos(60°)=12 och cos(90°)=0, samt att cosinusfunktionen inte vänder mellan 60° och 90°. En tredjedel är mindre än en halv, vilket innebär att cos(x) i vårt fall ligger närmare 90° än vad vinkeln 60° gör. Svaret blir då (c), större än 60°. 

 

Alternativ geometrisk metod

Vi kan utgå från ett prisma. Där vet vi att vinkeln mellan två sidor är 60°. 

Från de tre stående sidorna "skär" vi nu ut tre liksidiga trianglar, med samma mått som botten: 

Vinkeln mellan (förlängningarna av) dessa sidor är fortfarande 60°. För att bilda en tetraeder trycks sidorna inåt, så att punkterna I, J och H ligger i samma punkt i rummet. 

Om vi skulle fortsätta att trycka sidorna inåt, säg att sidorna kunde "gå igenom" varandra, skulle vi till slut komma till en punkt där alla sidor ligger ned, i princip staplade på varandra. Då skulle vinkeln mellan dem vara 180°, eftersom de är parallella. 

Slutsatsen är att vinkeln ökar när sidorna trycks inåt och bildar en tetraeder. Svaret är därför (c), större än 60°. 

 

Det går även att utgå från höjden i tetraedern: 

Här är det vinkeln FHI som vi är intresserade av. Om vi hittar längden av HI och FH, kan vi beräkna storleken av denna vinkel. För tydlighetens skull, kan det vara bra att sätta ut några extra linjer och vinklar: 

Vinkeln y är halva vinkeln i en liksidig triangel, och är därför 30°. Sträckan HB är hälften av tetraederns sidlängder, vilket blir 1/2, då vi satte sidlängden till 1. Då gäller sambandet: 

tan(30°)=HIHB=HI12HI=12·sin(30°)cos(30°)=12·1232=123

Sträckan FH kan beräknas med Pythagoras sats, och fås då till 32. Då gäller sambandet: 

cos(x)=12332=13

Precis som när vi använde cosinussatsen ovan, räcker det med att notera att cos(60°)=12 och cos(90°)=0, samt att cosinusfunktionen inte vänder mellan 60° och 90°. Vi kan därmed dra slutsatsen att x måste vara större än 60°.

 

Svar: (c), större än 60°. 

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. En kon med höjden 3 längdenheter har enhetscirkeln som bas. Inuti konen placeras en maximalt stor cylinder stående (med cirkelytorna parallella med enhetscirkeln), så att en mindre kon bildas inuti konen. Vinkeln mellan det plan som den mindre konens botten ligger i, och de linjer som utgör konens väggar är

(a): mindre än 60°

(b): lika med 60°

(c): större än 60°

(d): det går inte att avgöra

Svar:

(c), större än 60°. Vinkeln är cirka 72°, och är oberoende av vilken volym cylindern har, så länge den övre cirkelytan skär konen parallellt med xy-planet.

 

2. Kvadraten ABCD har sidan 3. En punkt E, som ligger inuti kvadraten ABCD dras rakt uppåt (vinkelrätt mot kvadraten) för att bilda en pyramid ABCDE. Vinkeln ACE är

(a): mindre än 90°

(b): lika med 90°

(c): större än 90°

(d): det går inte att avgöra

Svar:

(a), mindre än 90°. Givet höjden 3 längdenheter kan vinkeln 90° endast fås om E ligger på kvadratens rand, vilket går emot kravet om att E ligger inuti kvadraten ABCD, och vinklar större än 90° kan endast fås om E ligger utanför kvadraten.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 4 apr 2023 21:05 Redigerad: 20 maj 2023 15:43

21. Beräkna

165-43215+32

Ange svaret på formen pq, där p, q är heltal och bråket pq är maximalt förkortat. 


Här är det vanlig bråkräkning som behövs. Minsta gemensamma nämnare för bråken i täljaren är 15, och för bråken i nämnaren är minsta gemensamma nämnare 30. Det går ofta bra att, om nämnarna inte är allt för stora, förlänga till produkten av nämnarna, även om det finns en mindre gemensam nämnare. För bråk med täljare 8 och 6 går det bra att förlänga till 8·6=488\cdot6=48, även om minsta gemensamma nämnare är 24. 

16·35·3-4·53·52·215·2+3·152·15=4815-2015430+4530=28154930=28·3015·49

Primtalsfaktorisering är användbart för att förenkla bråket: 

28·3015·49=2·2·7·2·3·53·5·7·7=2·2·7·2·3·53·5·7·7=87

 

Svar: 87.

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Beräkna

127-2761326-214

Ange svaret på formen pq\frac{p}{q}, där p och q är heltal, och bråket pq\frac{p}{q} är maximalt förkortat.  

Svar:

875

 

2. Beräkna 

178-4242413-839

Ange svaret på formen pq\frac{p}{q}, där p och q är heltal, och bråket pq\frac{p}{q} är maximalt förkortat.  

Svar:

611640

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 4 apr 2023 21:07 Redigerad: 20 maj 2023 23:09

22. Bestäm alla reella tal p, för vilka ekvationen px2+(1+p2)x+p=0 har två olika lösningar sådana att kvoten mellan dem är lika med 2. Ange summan av det största och det minsta pp med den egenskapen.


De två lösningarna x1=ax_1=a och x2=bx_2=b uppfyller att:

pa2+(1+p2)a+p=0pb2+(1+p2)b+p=0

Eftersom den ena roten är dubbelt så stor som den andra, betyder det att b=2ab=2a (eller att a=2ba=2b, men eftersom vi inte har satt några värden på a och b spelar det ingen roll vilken likhet vi väljer). Det ger ekvationssystemet: 

pa2+(1+p2)a+p=0p2a2+(1+p2)2a+p=0~ i:   pa2+(1+p2)a+p=0ii: 4pa2+2(1+p2)a+p=0

Eftersom vi letar efter p, vore det bra att försöka göra oss av med a, genom att lösa ut a. Det kan göras genom PQ-formeln, men det blir väldigt mycket pillande med siffrorna. Ett annat sätt är att subtrahera 2*(i) från (ii). Då försvinner den krångliga linjärtermen: 

4pa2+21+p2a+p-2pa2+1+p2a+p=0-2·02pa2-p=0a=±12

Insättning av dessa värden i ekvationen px2+(1+p2)x+p=0 ger ekvationerna: 

a=+12:     p·122+1+p2·12+p=0a=-12:     p·-122+1+p2·-12+p=0

Vilket med lite förenklingar ger två olika alternativ: 

a=+12:     2p2+32p+2=0a=-12:     2p2-32p+2=0

PQ-formeln ger att lösningarna är: 

a=12:     -324±24a=-12:     324±24

Summan av den största lösningen (2) och den minsta lösningen (-2) är noll. 

 

Lösning med PQ-formeln

Börja med att dividera båda led med p, så att PQ-formeln kan användas. Sätt sedan in värdena i PQ-formeln: 

x=-1+p2p2±1+p2p22-1=-1+p22p±1+p224p2-1=-1+p22p±1+2p2+p4-4p24p2=-1+p22p±1-2p2+p44p2=-1+p22p±1-p224p2=-1+p22p±1-p22p

Det ger värdena:

x1=-1+p22p+1-p22p=-2p22p=-px2=-1+p22p-1-p22p=-22p=-1p

Denna förenkling bygger på att p0p\neq0, en slutsats som snabbt kan dras då x2+x+1=0x^2+x+1=0 saknar reella rötter helt. 

Enligt uppgiften ska den ena roten vara dubbelt så stor som den andra. Om x1=2x2x_1=2x_2, får vi att: 

-p-1p=2p2=2p=±2

Om det istället är så att 2x1=x22x_1=x_2 får vi att:

-1pp=22p2=1p=±12

Summan av den största och den minsta lösningen är då 0.

 

Svar: 0. 


Alternativ lösning (credit till Dracaena): 

För andragradsekvationer finns två kända samband mellan ekvationens koefficienter och ekvationens lösningar. För den andragradsekvation som har formen x2+px+q=0, och rötterna x1x_1 och x2x_2, gäller det att: 

(i): x1·x2=q

(ii): -x1+x2=p

För att kunna använda sambanden behöver vi dividera båda led med p, så att koefficienten framför x2x^2-termen blir 1. Då får vi ekvationen x2+1+p2px+1=0 

Vi har från uppgiften fått veta att x1x2=2. Det innebär att, för nollskilda x2x_2 är x1=2x2x_1=2x_2

Vilken ordning kommer x1x_1 och x2x_2 i? Huruvida x1x_1 eller x2x_2 utgör täljare respektive nämnare är oväsentligt, då vi ännu inte gett dem några värden eller sammanhang ännu. 

Samband (i) ger oss att: 

x1·x2=q2x2·x2=1x2=±12

Samband (ii) ger oss att: 

-x1+x2=p-2x2+x2=1+p2p-3x2=1+p2p

Våra två olika värden på x2x_2 ger oss nu två ekvationer med p som enda obekant: 

-3·12=1+p2p-3p=21+p22p2+3p+2=0

samt 

-3·-12=1+p2p3p=21+p22p2-3p+2=0

 

Tillsammans har dessa två ekvationer rötterna: 

p1=-2p2=-12p3=12p4=2

Summan av den största och den minsta roten, p1+p4p_1+p_4 är 0. 

 

Svar: 0.




Uppgifter som liknar denna: 

1. Andragradsekvationen 2x2+3p2p-1x+18=0 har två lösningar x1x_1 och x2x_2 som uppfyller att |x1|=|x2||x_1|=|x_2|. Ange summan av alla värden på p som uppfyller detta krav.

Svar:

-6-6

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 4 apr 2023 21:19 Redigerad: 20 maj 2023 16:03

23. Givet funktionen f(x)=e1-x1+x, ange f'(1)f'(1).


Använd kedjeregeln för att derivera f(x). För att minska risken för slarvfel, kan funktionen f delas upp i olika delar.

f(x)=eg(x), g(x)=h(x)j(x)=1-x1+x

Derivatorna vi har är då (börja inifrån): 

j'(x)=12xh'(x)=-12x

Kvotregeln ger nu att g har derivatan: 

g'(x)=h'x·jx-j'x·hxjx2=-12x·1+x-12x·1-x1+x2

Spara här tid genom att inte förenkla något. 

Kvotregeln ger oss nu slutligen att 

f'(x)=eg(x)·g'(x)=-12x·1+x-12x·1-x1+x2·e1-x1+x

och f'(1)f'(1) blir då: 

f'(1)=-121·1+1-121·1-11+124·e1-11+1=-14·1=-14

 

Svar: f'(1)=-14.

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Givet funktionen f(x)=ex2-4x+5, ange f'(-2).

Svar:

f'-2=-43

 

2. Givet funktionen g(x)=21+x3, ange g'(8).

Visa spoiler

g'(8)=23·ln(2)

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 5 apr 2023 21:30 Redigerad: 20 maj 2023 16:32

24. Beräkna -211x+3e-x+sinπxdx.


Det kluriga med denna uppgift är att den kräver att en kommer ihåg att integralen korsar x=0x=0, vilket medför att uttrycket 1x\frac{1}{x} inte är definierat där. 

Att en funktion är odefinierad i en punkt innebär inte nödvändigtvis att integralen av området är odefinierad – ett exempel är 04x-2x2-4dx, vars värde är log(3) – men det kräver att vi delar upp integralen i två områden: 

-211x+3e-x+sinπxdx=limr0-2r1x+3e-x+sinπxdx+r11x+3e-x+sinπxdx

 

De primitiva funktionerna blir, med klassiska regler för integration: 

f(x)=1x+3e-x+sinπxF(x)=lnx-3e-x-cos(πx)π+C

vilket ger oss integralen: 

limr0-2r1x+3e-x+sinπxdx+r11x+3e-x+sinπxdx=limr0lnx-3e-x-cosπxπ-2r+lnx-3e-x-cosπxπr1=limr0lnx-3e-x-cosπxπ-lnx-3e-x-cosπxπ+lnx-3e-x-cosπxπ-lnx-3e-x-cosπxπ=limr0ln1-3e-1-cosπ·1π-lnr-3e-r-cosπrπ+lnr-3e-r-cosπrπ-ln-2-3e-(-2)-cosπ(-2)π

Och här har vi ett problem... Vad är limr0lnr? Svaret är att det är odefinierat. När r går mot noll, går ln|r| mot negativ oändlighet. Eftersom gränsvärdet är odefinierat kan vi inte beräkna denna integral. En integral vars värde inte går mot ett numeriskt värde kallas divergent (motsatsen är att integralen är konvergent). 

 

Litet tips angående integraler av 1/x: De är aldrig konvergenta över x=0x=0. Om du ser en integral som innehåller en term på formen kx, k, som spänner över x=0x=0, är det ingen idé att ens försöka beräkna integralens värde. Integralen kommer alltid att vara divergent. 

 

Svar: Integralen finns inte. 

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Beräkna 042x+3e-xdx.

Svar:

11-3e4

 

2. Beräkna 22x-x3+e-2xdx.

Svar:

Integralen existerar ej (integralen är inte konvergent).

 

3. Beräkna 4e-3x-1x4dx.

Svar:

13e12-1192

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 18:34 Redigerad: 10 maj 12:26

25. Bestäm och ange det minsta heltalet, för vilket funktionen

f(x)=logx2x-1.

är definierad.


Här är det en idé att börja med att prova några små heltal. När det gäller reella tal (vilket alla naturliga tal är), måste både a och b i uttrycket logab vara större än noll för att uttrycket ska kunna beräknas. Det minsta möjliga heltalet skulle då vara 1. Det ger uttrycket:

log121-1=log11

Uttrycket logab besvarar frågan Vilket tal behöver vi upphöja a till, för att få talet b?. Om a=1a=1 har vi två möjligheter – om b är skiljt från 1, finns det inget sådant tal, eftersom 1p=11^p=1 för alla reella tal p. Om b är 1, finns det oändligt antal tal som uppfyller ekvationen 1p=11^p=1. Resultatet blir att det inte går att definiera någon logaritmfunktion för basen 1. 

Om a=2a=2 då? Då får vi log222-1=log23, vilket är ett giltigt uttryck (värdet är ungefär 1,58). Inga mindre heltal fungerar, och vi har därmed vårt svar. 

 

Svar: Det minsta heltalet är 2. 

 




Uppgifter som liknar denna: 

1. Bestäm och ange det minsta heltalet, för vilken funktionen 

g(x)=logx22-x2-2-x

är definierad.

Svar:

Det minsta heltalsvärde där g(x)g(x) är definierad är x=3x=3

 

2. Bestäm och ange det minsta heltalet, för vilken funktionen 

h(x)=logx4x2-9

är definierad.

Svar:

Det minsta heltalsvärde där h(x)h(x) är definierad är x=4x=4

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 19:02 Redigerad: 20 maj 2023 21:20

26. Lös ekvationen

lnex+1-lnex-1=x

Ange summan av ekvationens lösningar.


Logaritmlagen lna-lnb=lnab kan appliceras på vänsterledet: 

lnex+1ex-1=x

e-upphöj båda led för att bli av med logaritmeringen i VL: 

elnex+1ex-1=exex+1ex-1=ex

Förenkling ger nu att: 

ex+1=ex2-exex2-2ex-1=0

Genom att göra ansättningen t=ex fås andragradsekvationen t2-2t-1=0, som kan lösas med PQ-formeln eller kvadratkomplettering, och då fås lösningarna t=1±2

För att hitta värdena på x, behöver vi då lösa ekvationerna 1+2=ex och 1-2=ex

Den första ekvationen har lösningen x=ln1+2. Den andra ekvationen saknar lösningar, då 1-2<0

 

Svar: ln1+2




Uppgifter som liknar denna:

1. Lös ekvationen

lnx2-4-lnx+2=1

Ange summan av ekvationens lösningar.

Svar:

 

 

2. Lös ekvationen

lnx3·2=e

Ange summan av ekvationens lösningar.

Svar:

18e3e

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 19:42 Redigerad: 8 maj 19:57

27. Lös ekvationen

cos2(x)+cos2x=2

Ange summan av ekvationens lösningar i intervallet 0, 2π.


Använd sambandet cos2x=cos2x-sin2x. Därefter kan sinustermen bytas ut med hjälp av trigonometriska ettan.Det ger beräkningen: 

cos2x+cos2x=2cos2x+cos2x-sin2x=2cos2x+cos2x-1-cos2x=2cos2x+2cos2x-1=23cos2(x)=3cos2(x)=1

Som har lösningarna x=n·π, för heltal n. 

De lösningar som ligger inuti intervallet är de då n=0, 1, 2n=0,\;1,\;2, vilket ger summan 3π

 

Tips! Det går även att använda likheten cos2x=2cos2x-1, för att slippa använda trigonometriska ettan. 

 

Svar: 3π




Uppgifter som liknar denna: 

1. Lös ekvationen

2sin4(x)+7cos2(x)=4

Ange summan av ekvationens lösningar i intervallet 0, 3π2.

Svar:

9π4

 

2. Lös ekvationen

4sin2(x)cos2(x)=0

Ange summan av ekvationens lösningar i intervallet 0, 3π4.

Svar:

π2

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 19:51 Redigerad: 20 maj 2023 21:55

28. Bestäm och ange den minsta vinkeln i en triangel som har sidlängder 1, och 2 (längdenheter).


Som vanligt är det bra att börja med att rita en ungefärlig bild: 

Denna triangel ser onekligen en aning rätvinklig ut. Kan det stämma? 

12+32=?222=2

Japp! Vår triangel är rätvinklig. Den minsta vinkeln ligger mellan sidan med längden 3\sqrt{3} och 2. Om vi kallar vinkeln x, blir sambandet mellan sidorna sinx=12. Det innebär att x=30°x=30°

 

Det går även att notera att denna triangel är en halva av en liksidig triangel med sidlängden 2. Eftersom triangeln är liksidig, är vinklarna 60°. En av dessa vinklar är delade på hälften för att få vår halva triangel, vilket medför att vinkeln blir 60°2=30°.

 

Svar: 30°.




Uppgifter som liknar denna: 

1. Bestäm och ange den minsta vinkeln i en triangel som har sidlängder 22, 1, & 12 (längdenheter).

Svar: 

Den minsta vinkeln är 45°. 

 

2. Bestäm och ange den största vinkeln i en romb som har diagonaler3 & 1 (längdenheter). 

Svar:

Den största vinkeln är 120°. Romben består av två liksidiga trianglar. 

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 22:20 Redigerad: 20 maj 2023 22:28

29. Fyrhörningen ABCD är ett parallelltrapets, där AB || CD. Diagonalerna AC och BD skär varandra i punkten O. Om |AB|=10|AB| = 10, |CD|=5|CD| = 5 och |BD|=8|BD| = 8 längdenheter, beräkna och ange längden av sträckan DO.


Börja med att rita upp en figur och sätt in de mått som angetts: 

där p+q=8p+q=8, och AB och CD är parallella. 

Vissa av vinklarna är lika stora:

  • e=fe=f
  • b=db=d
  • a=ca=c

Triangeln AOB är likformig med COD, eftersom vi har två lika stora vinklar e och f, samt eftersom a och c, samt b och d är alternatvinklar. 

Diagonalen BD är uppdelad i delar pp och qq, där det gäller p+q=8p+q=8‚ vilket kan skrivas om till q=8-pq=8-p

Sidorna i likformiga trianglar har samma förhållanden till varandra. Det innebär att vi kan sätta upp likheten: 

CDAB=DOBO510=p8-p5·8-p=10·p40=15pp=4015=83

 

Svar: DO=83 le.




Uppgifter som liknar denna: 

1. Fyrhörningen ABCD är ett parallelltrapets, där AB || CD. Diagonalerna AC och BD skär varandra i punkten O. Om |AB|=12|AB| = 12, |CD|=9|CD| = 9 och |BD|=10|BD| = 10 längdenheter, beräkna och ange längden av sträckan BO.

Svar:

407 längdenheter.

 

2. Fyrhörningen ABCD är ett parallelltrapets, där AB || CD. Diagonalerna AC och BD skär varandra i punkten O. Om |AB|=14|AB| = 14, |CD|=20|CD| = 20 och |BD|=9|BD| = 9 längdenheter, beräkna och ange längden av sträckan DO.

Svar:

9017 längdenheter.

 

Smutstvätt Online 24584 – Moderator
Postad: 8 apr 2023 22:57 Redigerad: 20 maj 2023 22:47

30. En parallellogram har sidlängder 3 och 7 (längdenheter). Om den ena diagonalens längd är 5 (längdenheter), beräkna och ange den andra diagonalens längd.


Rita upp parallellogrammet och sätt ut de mått som getts i uppgiften: 

Här kan parallellogramsatsen användas, som säger att diagonalernas längder och sidornas längder hänger ihop på följande sätt: 

2a2+b2=d12+d22

Där a och b är parallellogrammets sidor, och d1d_1 och d2d_2 är diagonalerna i parallellogrammet. 

Denna formel ger ekvationen: 

232+72=52+d218+98-25=d2d=91 

 

Det går även att beräkna längden utan parallellogramsatsen. Börja med att förlänga CD åt höger, och dra en hjälplinje från B, vinkelrätt nedåt mot CD: 

Vi har nu tre samband:

i:   (7-b)2+h2=52    (ACG)ii:  (7+b)2+h2=d2    (BDF)iii: h2+b2=32    (BCF)

Utveckling av (i) och (ii) ger sambanden: 

i:   72-2·7·b+b2+h2=52ii:  72+2·7·b+b2+h2=d2iii: h2+b2=32

Ekvation (iii) säger att termen b2+h2b^2+h^2 i (i) och (ii) kan ersättas med 323^2. Det ger då ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta: 

72-2·7·b+32=5272+2·7·b+32=d2~-2·7·b=-2772+2·7·b+32=d2~b=3314d2=72+2·7·3314+32~b=3314d=91

(det negativa värdet på d kan uteslutas då sträckor alltid är positiva). 

 

Svar: 91\sqrt{91}.




Uppgifter som liknar denna: 

1. En parallellogram har sidlängder 5 och 8 (längdenheter). Om den ena diagonalens längd är 89 (längdenheter), beräkna: 

(a) Längden av den andra diagonalen

(b) Vinkeln ABC

Svar:

(a), 89 längdenheter.

(b), 90°

 

2. En parallellogram har sidlängder 7 och 9 (längdenheter). Om den ena diagonalens längd är 11 (längdenheter), hur lång är den andra diagonalen?

Svar:

139 längdenheter.

 

Äntligen kan vi publicera denna tråd! ConnyN och jag har jobbat med den i mer än två månader, och nu är den äntligen redo att publiceras. 

Hoppas att ni finner lösningarna användbara, och om ni har några frågor kan ni alltid fråga här i tråden! :)

destiny99 7326
Postad: 11 maj 2023 23:04
Smutstvätt skrev:

20. De fyra punkterna A, B, C och D är olika och ligger i rummet så att trianglarna ABC, BCD, CAD och ABD alla är liksidiga (det vill säga ABCD är en regelbunden tetraeder). Vinkeln mellan de två planen som trianglarna ABC och ABD ligger i är

(a): mindre än 60°

(b): lika med 60°

(c): större än 60°

(d): det går inte att avgöra


Denna uppgift kan lösas på flera olika sätt, både geometriskt och algebraiskt. För enkelhetens skull kan vi sätta sidlängden till 1. 

Den vinkel vi vill hitta är vinkeln mellan två sidor. Genom att bilda en triangel som går från ett hörn, till mittpunkten på motstående sida, upp till det övre hörnet, och tillbaka längs sidan ned till utgångspunkten, får vi en triangel som innehåller just denna vinkel, nedan markerad med x.  

Denna triangel har en sida med sidlängs 1, och två sidor som utgörs av höjden i varsin (identisk) triangel. 

Höjden i en triangel är aldrig lika lång som dess sida. Det innebär att vår triangel ADE inte är liksidig, och att vinkeln x därför inte kan vara 60°, vilket utesluter alternativ (b). 

För den som känner sig bekväm med geometrin, kan vi redan här hitta svaret, utan fler beräkningar. Sidorna som utgörs av höjder (DE och AE) är kortare än sträckan AD. Om vi skulle utgå från en liksidig triangel, med vinkeln 60°, och sedan förkorta två av sidorna lika mycket, vad händer då med vinkeln mellan dessa två sidor? 

Skissa gärna innan du öppnar denna spoiler

Geometriskt motsvarar detta att hörnet som binder samman de två sidor vi förkortar, knuffas mot motstående sida: 

Vinkeln mellan dem kommer därför att öka. Det är precis detta som skett i vår triangel. Start i 60°, och sedan har hörnet med vinkeln x knuffats mot sidan mittemot. Svaret blir därför (c), större än 60°. 

För den som gärna vill räkna, kan cosinussatsen användas. Sidorna AE och DE utgör som sagt höjder i sina trianglar, och eftersom det är en regelbunden tetraeder, är dessa liksidiga. Deras sidlängder är ett, som vi bestämde. Detta medför att vi kan beräkna längden av sidorna AE och DE till 32, med hjälp av Pythagoras sats. 

Cosinussatsen säger att en triangel med sidorna a, b och c uppfyller sambandet a2=b2+c2-2bc·cos(α), där vinkeln alfa är vinkeln mittemot sidan a. I vårt fall innebär detta att a=1a=1b=c=32, och α=x\alpha=x. Cosinussatsen ger då: 

12=322+322-23232·cos(x)1=23221-cos(x)-23+1=cos(x)x=arccos13

Exakt vad arccosinus av 1/3 är, behöver vi inte veta eller beräkna. Det räcker med att notera att cos(60°)=12 och cos(90°)=0, samt att cosinusfunktionen inte vänder mellan 60° och 90°. En tredjedel är mindre än en halv, vilket innebär att cos(x) i vårt fall ligger närmare 90° än vad vinkeln 60° gör. Svaret blir då (c), större än 60°. 

 

Alternativ geometrisk metod

Vi kan utgå från ett prisma. Där vet vi att vinkeln mellan två sidor är 60°. 

Från de tre stående sidorna "skär" vi nu ut tre liksidiga trianglar, med samma mått som botten: 

Vinkeln mellan (förlängningarna av) dessa sidor är fortfarande 60°. För att bilda en tetraeder trycks sidorna inåt, så att punkterna I, J och H ligger i samma punkt i rummet. 

Om vi skulle fortsätta att trycka sidorna inåt, säg att sidorna kunde "gå igenom" varandra, skulle vi till slut komma till en punkt där alla sidor ligger ned, i princip staplade på varandra. Då skulle vinkeln mellan dem vara 180°, eftersom de är parallella. 

Slutsatsen är att vinkeln ökar när sidorna trycks inåt och bildar en tetraeder. Svaret är därför (c), större än 60°. 

 

Det går även att utgå från höjden i tetraedern: 

Här är det vinkeln FHI som vi är intresserade av. Om vi hittar längden av HI och FH, kan vi beräkna storleken av denna vinkel. För tydlighetens skull, kan det vara bra att sätta ut några extra linjer och vinklar: 

Vinkeln y är halva vinkeln i en liksidig triangel, och är därför 30°. Sträckan HB är hälften av tetraederns sidlängder, vilket blir 1/2, då vi satte sidlängden till 1. Då gäller sambandet: 

tan(30°)=HIHB=HI12HI=12·sin(30°)cos(30°)=12·1232=123

Sträckan FH kan beräknas med Pythagoras sats, och fås då till 32. Då gäller sambandet: 

cos(x)=12332=13

Precis som när vi använde cosinussatsen ovan, räcker det med att notera att cos(60°)=12 och cos(90°)=0, samt att cosinusfunktionen inte vänder mellan 60° och 90°. Vi kan därmed dra slutsatsen att x måste vara större än 60°.

 

Svar: (c), större än 60°. 

Hur kan vinkeln y vara 30 grader ?  Hur får du mha pythagoras värdet för FH?

Utmärkta frågor! Vinkeln y är halva vinkeln av vinkeln ABC, som är en vinkel i en liksidig triangel. Därför är y 30 grader. 

För att beräkna FI med Pythagoras sats behöver vi först hitta längden av FH. FH är en katet i den rätvinkliga triangeln BFH, som har längderna 1, 1/2 och FH. Det ger att FH har längden √3 / 2. :)

destiny99 7326
Postad: 12 maj 2023 14:35
Smutstvätt skrev:

Utmärkta frågor! Vinkeln y är halva vinkeln av vinkeln ABC, som är en vinkel i en liksidig triangel. Därför är y 30 grader. 

För att beräkna FI med Pythagoras sats behöver vi först hitta längden av FH. FH är en katet i den rätvinkliga triangeln BFH, som har längderna 1, 1/2 och FH. Det ger att FH har längden √3 / 2. :)

Jaha ok då är jag med. Man behöver ej ens ta reda på FI. Det räcker med att IH och FH är kända så kan man räkna ut vinkeln x. Då förstår jag. Tack!!

Så kan man också göra! :)

CookieBeast 2
Postad: 26 maj 2023 12:06 Redigerad: 26 maj 2023 12:06

Hej. Jag förstår inte varför inte alla svarsalternativ är rätt på uppgift fyra. Om ett tillräckligt litet tal väljs på a, exempelvis 0.001 (vilket är större än 0 och mindre än 1)så blir den termen = 1000. Vilket är större än 3, 3/2 och 1. Var brister mitt resonemang?

 

Tacksam för svar.

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 26 maj 2023 12:37

Det ska gälla för alla aa och bb inom det givna intervallet, inte bara för ett enda värde på aa och bb.

Om du kikar på Smutstvätts lösning, så ser du hur vissa alternativ utesluts med ett motexempel.

CookieBeast 2
Postad: 26 maj 2023 13:52 Redigerad: 26 maj 2023 13:52
Dracaena skrev:

Det ska gälla för alla aa och bb inom det givna intervallet, inte bara för ett enda värde på aa och bb.

Om du kikar på Smutstvätts lösning, så ser du hur vissa alternativ utesluts med ett motexempel.

Tack då förstår jag

Brott mot regel 2.8 borttaget. /moderator

destiny99 7326
Postad: 3 aug 2023 12:51

Varför står det olika gällande formel för geometrisk summa? Ena gången ser jag Sn=a1(k^n-1)/(k-1) och andra gången Sn=a1(k^n+1)/(k-1). Vilket är korrekt? Du använder n+1 medan jag använde n bara.

Laguna Online 29325
Postad: 3 aug 2023 13:09

Var står det k^n+1?

destiny99 7326
Postad: 3 aug 2023 13:15
Laguna skrev:

Var står det k^n+1?

Jag menar k^(n+1). Det står i  lösningsförslag för uppgift 11

Laguna Online 29325
Postad: 3 aug 2023 13:54

OK, du menar k^(n+1)-1.

Det beror på om man tycker att sista termen är akn eller akn-1.

destiny99 7326
Postad: 3 aug 2023 14:09
Laguna skrev:

OK, du menar k^(n+1)-1.

Det beror på om man tycker att sista termen är akn eller akn-1.

Aa okej så om man tycker att sista termen är ak^n så kan man använda sn=a((k)^n-1)/(k-1)? Båda verkar fungera alltså eller?

squishychonk 1
Postad: 25 apr 10:48

2. Om a=256, b=9 och x=a2b+2ab34+ab2aab-bab, så gäller att x är lika med

(a): 4-344+34

(b): 4+334-33

(c): 4+34-3

(d): inget av (a)-(c)

Svar:

(c), 4+34-3

 

Hur ska jag börja för att förenkla denna?

Ture 10050 – Livehjälpare
Postad: 25 apr 11:17

Skapa en ny tråd om den här uppgiften, så smutsar vi inte ned den här tråden

nepalen 1
Postad: 8 maj 15:24

Hej!
Jag klarar alla uppgifter relativt bra, men jag har verkligen kört fast på denna:

4sin2(x)cos2(x)−3=0
ange summan av ekvationens lösningar i intervallet (0,pi)

Jag har samtalat med andra vänner som studerat matte och fysik på hög nivå (teknisk matematik master och liknande). Men vi lyckas inte lösa den. 


Jag har försökt att ersätta sin med cos och cos med sin, med hjälp av formel för dubbla vinkel samt trig-ettan. Oavsett vad jag gör hamnar jag på en en pq-formel eller kvadratkomplettering med imaginär rot. Ska jag skriva uttrycket med polär form? 

destiny99 7326
Postad: 8 maj 17:28
nepalen skrev:

Hej!
Jag klarar alla uppgifter relativt bra, men jag har verkligen kört fast på denna:

4sin2(x)cos2(x)−3=0
ange summan av ekvationens lösningar i intervallet (0,pi)

Jag har samtalat med andra vänner som studerat matte och fysik på hög nivå (teknisk matematik master och liknande). Men vi lyckas inte lösa den. 


Jag har försökt att ersätta sin med cos och cos med sin, med hjälp av formel för dubbla vinkel samt trig-ettan. Oavsett vad jag gör hamnar jag på en en pq-formel eller kvadratkomplettering med imaginär rot. Ska jag skriva uttrycket med polär form? 

Ekvationen saknar lösningar. Använd sinus för dubbla vinkel så inser du att det ej går att lösa detta ekvation.

Attans! Har ändrat lite i uppgiften nu så att den går att lösa. Vet inte hur det blev så fel. :(

destiny99 7326
Postad: 8 maj 21:08
Smutstvätt skrev:

Attans! Har ändrat lite i uppgiften nu så att den går att lösa. Vet inte hur det blev så fel. :(

Vilket nummer tråd?

Inlägg #37 här i tråden, alternativuppgift två. :)

Lenman 2
Postad: 10 maj 12:23

Hejsan! 

Bra gjort med alla lösningsförslag!!! 

Undrar bara lite angående denna fråga i #35. 

1. Bestäm och ange det minsta heltalet, för vilken funktionen 

g(x)=logx22-x2-2-x

är definierad.

Enligt facit är svaret x = 2. Jag tänker att g(x) är definierad för x > 2 och att svaret borde bli x = 3. Säg till ifall jag är helt ute och cyklar

Du har helt rätt! Slarvigt av oss – jag ändrar direkt!

Svara Avbryt
Close