Matematiska paradoxer - The coin rotating paradox
Hej!
En paradox är en motsägelse mellan vad en teori påstår och vad som verkar rimligt utifrån sunt förnuft. Allmänt accepterade och logiska antaganden som leder till oväntade motsägelser eller yttranden som vid första anblicken verkar orimliga.
Om paradoxer dessutom har en historia bakom gör den extra fascinerande. Den här fick jag av en snäll kollega idag:
The SAT Question Everyone Got Wrong
Har ni andra matematiska paradoxer?
Intressant tråd! Skriver så att jag kommer ihåg att skriva imorgon.
Tja, Monty Hall-problemet kan tyckas ointuitivt för många. Däribland mig, innan jag skapade mig ett alternativt problem ("Det finns 100 dörrar med getter i 99; efter första gissningen öppnas 98 dörrar") som illustrerade att programledaren gör ett val baserat på mitt val och därmed var min intuition fel.
Även berömda matematiker föll för Monty Hall-paradoxen när den var en nyhet och var i efterhand tvungna att ödmjukt be om ursäkt för att de hade förolämpat de som egentligen hade rätt.
Jag hade också ett exempel jag tänker på ibland. Låt oss anta att vi ställer en hypotes: alla svanar är vita. Logiskt ekvivalent till denna utsaga är alla icke-vita objekt är icke-svanar.
Detta innebär att om man hittar ett objekt som är icke-vitt och samtidigt inte är en svan, så har man samtidigt stärkt sin hypotes om att alla svanar är vita. Men visst känns det konstigt att man kan uttala sig om sanningsvärdet på ens hypotes om svansr utan att ens studera svanar…? 🙂
När Numberphile summerade alla naturliga tal till var det många, inklusive undertecknad, som höjde ett ögonbryn. Minst sagt!
För mig är detta inte intuitivt, snarare provocerande:
Men alla sådana här exempel jag har stött på är visserligen mot intuition, inte mot korrekt tankegång.
Exemplet med -1/12 kräver t.ex. Att man missförstått begreppet "gränsvärde".
Det är inte bara provocerande utan fel. Summan divvar precis som man förväntar sig. Jag minns att Numberphile hamnade under ordentligt blåsväder efter den videon!
Vid en föreläsning i matematik tidigt 90-tal erbjöd sig föreläsaren att ge samtliga närvarande 10 kr (eftersom vi var i sal X?), om det var så att inte två var födda på samma dag. Vi var kanske 50-100 närvarande. Jag hade inte hört talas om födelsedagsparadoxen (duvslagsprincipen) och hajade till över erbjudandet. För den som till äventyrs inte vet är sannolikheten >50% vid 23 personer och >99% vid 57.
Ett annat fenomen som strider mot min intuition är Benfords lag, att siffran 1 förekommer som förstasiffra i 30% av alla naturligt förekommande tal i statistik. Spontant känns det som att de borde vara jämnt fördelade, eller åtminstone inte så snedfördelade.
Ah, födelsedagsparadoxen, klassiker! Jag tycker den blir mer intuitiv när man inser att det som spelar roll är hur många par av födelsedagar som finns, inte hur många enskilda födelsedagar som finns.
Det är även ett bra exempel på varför det kan vara så värdefullt att kunna scripta lite i passande språk, för då kan man verifiera sådana frågor empiriskt genom att helt enkelt låta datorn tugga några miljoner episoder och ta fram ett statistiskt genomsnitt.
Benfords lag hade jag aldrig hört talas som. Finns det någon förklaring till varför eller är det bara en observation? Väldigt coolt!
naytte skrev:Benfords lag hade jag aldrig hört talas som. Finns det någon förklaring till varför eller är det bara en observation? Väldigt coolt!
Ur minnet har det att göra med att naturligt förekommande tal ofta är jämnt fördelade på en log-skala. Avståndet mellan 1 och 2 är större än mellan 8 och 9. Fler tal börjar alltså på 1 än på 9.
Det lär dock inte fungera för telefon- och personnummer.
Jag vet dock att det använts som test för att identifiera förfalskade räkenskaper. Känner man till Benford så kokar man sina siffror med lite omsorg.
Busenkelt att googla förklaringen, men kul att skriva något ur minnet ibland.
