Matematiskt bevis

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Jag förstår inte riktigt vad du söker för bevis. Vad är det du vill bevisa?

Förstår frågan men har inget svar. Ta pi t ex. Talet har oändligt många decimaler, utan ordning. Då kommer man att någonstans få 11 nollor i följd, och någonstans 17 nollor i följd. Finns det någon gräns för hur många nollor i följd man kan få, och i  så fall vilken är den gränsen. Om det inte finns någon gräns kommer man någonstans att få oändligt många nollor i följd. Är då den oändligheten "mindre" än  oändligheten av decimaler. Bl a Cantor och Hilbert pillade med sådant tror jag.

Jag tog detta med Metas AI och fick svaret nedan, dock utan att se själva beviset.

*Bevis för att få 100 sexor i rad med oändlig tid*

För att bevisa att vi en dag kommer få 100 sexor i rad om vi har oändligt med tid på oss, kan vi använda oss av sannolikhetsteori och begreppet "oändlig serie av oberoende händelser".

*Sannolikheten för en sexa*

Sannolikheten för att få en sexa på en tärning är 1/6, eftersom det finns 6 möjliga utfall och endast ett av dem är en sexa.

*Sannolikheten för 100 sexor i rad*

Sannolikheten för att få 100 sexor i rad är (1/6)^100, eftersom varje kast är oberoende av det föregående.

*Borel-Cantellis lemma*

Borel-Cantellis lemma är en sats inom sannolikhetsteorin som säger att om vi har en oändlig serie av oberoende händelser med positiv sannolikhet, så kommer någon av dessa händelser att inträffa med säkerhet om serien är oändlig.

I vårt fall kan vi definiera händelsen "100 sexor i rad" som en serie av 100 oberoende händelser, där varje händelse är att få en sexa. Sannolikheten för denna händelse är (1/6)^100, som är positiv.

*Tillämpning av Borel-Cantellis lemma*

Eftersom vi har en oändlig serie av oberoende händelser (tärningskast) och sannolikheten för "100 sexor i rad" är positiv, kan vi tillämpa Borel-Cantellis lemma. Detta innebär att med säkerhet kommer vi att få 100 sexor i rad någon gång under den oändliga serien av tärningskast.

*Slutsats*

Med oändligt med tid på oss och en oändlig serie av oberoende tärningskast, kan vi matematiskt bevisa att vi en dag kommer att få 100 sexor i rad. Detta beror på att sannolikheten för denna händelse är positiv och Borel-Cantellis lemma garanterar att någon av dessa händelser kommer att inträffa med säkerhet under en oändlig serie.

Jag tror inte att detta stämmer. Jag har något vagt minne av ett begrepp inom sannolikhetsteorin, ”almost surely”.

Vad hindrar oss, principiellt, från att slå allt förutom sexor i all oändlighet?

Jag tror nog att det kan stämma, men inte om tiden är begränsad, låt säga att vi kastar en tärning under 100 000 miljarder år, då kan vi inte vara säkra på att få en enda sexa. Men med oändlig tid blir det en helt annan situation.

Litet inspel, för att få en uppfattning om ett ändligt antal sexor i rad:

Om jag inte räknat helt fel så når man 50% sannolikhet att få 10⁶ sexor i rad (väntevärde > 0,5) efter:

$N~6^{{10}^6}\approx {10}^{778151}$

Det är ett rätt så stort tal. Man kan jämföra det med klassikern antal atomer i universum: $~{10}^{80}$

Helt naiv observation, för jag kan inte det där med oändliga resonemang i sannolikhetslära: om man aldrig skulle få en miljon sexor i rad så var inte tärningen slumpmässig på det sätt man antar att den är.

Laguna skrev:

Helt naiv observation, för jag kan inte det där med oändliga resonemang i sannolikhetslära: om man aldrig skulle få en miljon sexor i rad så var inte tärningen slumpmässig på det sätt man antar att den är.

Finns det en 6:a på tärningen och det är fysiskt möjligt att få det utfallet, så kommer man att få en miljon sexor i rad givet oändligt antal kast. Det spelar ingen roll om sannolikheten för en sexa är det normala P(6:a)=1/6 eller P(6:a)=1/1000, eller värre.

Om P(6:a) är >0 kommer det att inträffa, eftersom P(6:a)^1000000>0.

Larsp56 skrev:

Jag tror nog att det kan stämma, men inte om tiden är begränsad, låt säga att vi kastar en tärning under 100 000 miljarder år, då kan vi inte vara säkra på att få en enda sexa. Men med oändlig tid blir det en helt annan situation.

Varför förändrar det situationen? Vad hindrar oss från att slå t.ex. endast nollor alla kast? ”För evigt”, alltså.

sictransit skrev:

Litet inspel, för att få en uppfattning om ett ändligt antal sexor i rad:

Om jag inte räknat helt fel så når man 50% sannolikhet att få 10⁶ sexor i rad (väntevärde > 0,5) efter:

$N~6^{{10}^6}\approx {10}^{778151}$

Det är ett rätt så stort tal. Man kan jämföra det med klassikern antal atomer i universum: $~{10}^{80}$

Hur räknade du? Väntevärde av vad? 

Det kanske hjälper om vi på något sätt kan formalisera vad vi menar med oändlig tid. Vi kan börja med att definiera en slumpvariabel $X_i$ som betecknar värdet tärningen visar vid kast $i$. Definiera vidare ordnade listan (tupeln) $\bar{X}:=(X_1, X_2,...)$. Vi säger att en lista $S:=(s_1, s_2,...,s_n)$ en dellista till $\bar X$ om och endast om elementen $s_1, s_2,...,s_n$ är påvarandra följande element i $\bar X$, i den ordningen.

Hypotesen (positivt uttryckt) vi undersöker nu är följande:

För varje ändlig lista $\displaystyle S:=(s_1,s_2,...,s_n)$ med $\displaystyle s_i \in \{1,2,3,4,5,6\}$ är $S$ en dellista till $\bar X$.

Tillägg: 1 sep 2025 14:06

Jag håller inte med om att det skulle vara så trivialt att listan garanterat skulle innehålla alla dellistor som finns givet godtyckligt många slag. Även om vi skulle mäta sannolikheten för detta till $1$ innebär det inte att det måste hända. Det finns trots allt tänkbara listor som t.ex. $\omega= (1,1,1,1,...)$. Sannolikheten att vi får just den listan är noll men det kan ändå hända.

Jag skulle vilja flika in med att säga att det är skillnad på "sannolikhet lika med noll" och "aldrig kan inträffa". Det kanske låter ointuitivt, men tänk oss att vår tärning har oändligt antal sidor. Om alla sidor har lika stor chans att inträffa så kommer varje sida hamna upp med sannolikhet noll. Men å andra sidan, givet att vi har en sådan tärning och kastar den, så kommer den ju onekligen landa med någon sida upp.

Med det sagt tänker jag att vi kan bevisa att sannolikheten för att få en miljon sexor i rad går mot 1 då antalet kast går mot oändligheten.

Vi kan dock inte strikt sett säga att det garanterat kommer inträffa. Det är inte en matematisk omöjlighet att vi fortsätter och fortsätter kasta och aldrig får en miljon sexor i rad.

Sannolikhet lika med 1 betyder alltså inte nödvändigtvis att det garanterat kommer att inträffa.

Omvänt betyder sannolikhet lika med 0 inte nödvändigtvis att det aldrig kan inträffa.

Jag tror inte att detta stämmer. Jag har något vagt minne av ett begrepp inom sannolikhetsteorin, ”almost surely”.

Vad hindrar oss, principiellt, från att slå allt förutom sexor i all oändlighet?

Precis så tänker jag.

Låt säga att vi singlar ett mynt ett "oändligt antal gånger". Sannolikheten att vi får just den oändliga sekvens av kronor och klavar som vi fick i detta experiment är noll. Trots det så inträffade det. Omvänt så var sannolikheten 1 att få vilken annan sekvens som helst, men det inträffade inte.

Matematiskt brukar man använda begreppet "almost surely" för att beskriva dessa typer av situationer.

Sammanfattningsvis så är det som spökar här, så som är fallet så ofta, begreppet oändligheten. Enligt den "frekventistiska" synen på sannolikhet där sannolikheten ges av antalet gynnsamma utfall delat på antalet möjliga utfall kan ge sannolikhet noll då antalet möjliga utfall är oändligt. Trots det betyder det inte riktigt samma sak som att det aldrig kan inträffa.

sictransit skrev:

Laguna skrev:

Helt naiv observation, för jag kan inte det där med oändliga resonemang i sannolikhetslära: om man aldrig skulle få en miljon sexor i rad så var inte tärningen slumpmässig på det sätt man antar att den är.

Finns det en 6:a på tärningen och det är fysiskt möjligt att få det utfallet, så kommer man att få en miljon sexor i rad givet oändligt antal kast. Det spelar ingen roll om sannolikheten för en sexa är det normala P(6:a)=1/6 eller P(6:a)=1/1000, eller värre.

Om P(6:a) är >0 kommer det att inträffa, eftersom P(6:a)^1000000>0.

Den skulle kunna vara utrustad med minne.

Laguna skrev:

Den skulle kunna vara utrustad med minne.

Nu står det ju inte uttryckligen rättvis tärning i uppgiften, eller tärning som inte förändras över tid, men jag tolkade det så. 

sictransit skrev:

Laguna skrev:

Den skulle kunna vara utrustad med minne.

Nu står det ju inte uttryckligen rättvis tärning i uppgiften, eller tärning som inte förändras över tid, men jag tolkade det så. 

Ja, det är ju det som är premissen i frågan.