Maximala area

Du behöver inga integraler, tror jag. Hur som helst kan det vara en bra början att ställa upp ett uttryck för rektangelns area. Hur skulle det se ut?

Om det inte är en integral så har jag ingen aning 

Hur bred han rektangeln bli som mest (om den är alldeles platt)?

Hur hög kan rektangeln bli som mest (om den är väldigt, väldigt smal)?

Om vi väljer en godtycklig x-koordinat som bas för rektangeln kommer rektangelns höjd bli $f\left(x\right)$, eller hur?

Det innebär att rektangelns area kan skrivas som $A\left(x\right)=x·f\left(x\right)$. Kommer du vidare med det?

Nej förstår fortfarande inte riktigt. Jag fattar att ena är 0 eftersom den börjar i origo

Rektangelns area är basen gånger höjden. Basen är x och höjden är y(x), detta gäller oavsett i vilken punkt vi sätter som rektangelns hörn.

När du väl har detta uttryck vill du maximera det genom att hitta extremvärden

Så jag deriverar y=16-0,5x^2 och sätter =0 för att hitta extrempunkterna?

Nej, du deriverar funktionen som beskriver arean, dvs y*x

Hur räknar jag ut den?

Eftersom y=16-0.5x² är y*x=16x-0.5x³

Jag förstår inte riktigt vad det var du gjorde. Och vad menas med y*x? 

Julialarsson321 skrev:

Jag förstår inte riktigt vad det var du gjorde. Och vad menas med y*x? 

x är bredden och y är höjden, se bild.

Rektangelns area A = x•y

Eftersom y = 16-0,5x² så är arean A = x•(16-0,5x²)

Jahaaa nu fattar jag. Sorry var lite trög igår. Så nu ska jag ta reda på extremvädrena för A(x)? Och gör jag det genom att derivera och sätta =0?

Ja, det är en bra metod.

Jag kan inte bryta ut något så kan inte göra nollproduktsmetoden, kan jag göra på-formeln om jag delar på -1,5 även om det inte finns något tal med x med? Eller hur går jag vidare?

Ja, du kan använda pq-formeln ändå, men det är onödigt.

Addera istället 1,5x² till båda sidor och ta det därifrån.

Såhär?

Du tänker rätt, men du skriver fel när du skriver att A'(x) = 16/1,5 = 1,5x²/1,5.

Du ska inte avrunda ditt x-värde.

Och du är inte klar ännu.

Hur ska jag göra istället?

A'(x) = 0 ger att

16 = 1,5x²

16/1,5 = 1,5x²/1,5

Och så vidare.

Felet var alltså att du skrev att A'(x) = 16/1,5

Såhär?

Det står i uppgiften att du ska svara exakt, då får man inte använda närmevärde

När du har

16/1,5 = x² drar du roten ur bägge led och får

$x=\pm \frac{4}{\sqrt{1,5}}$, den negativa lösningen kan vi skippa eftersom vi bara är intresserade av positiva x.

Återstår att beräkna rektangelns area!

Såhär?

Du bör förenkla svaret så långt som möjligt

Jag är lite osäker på hur jag ska förenkla detta när det är roten ur osv. Tar jag 16 gånger täljare och nämnare och sen samma med 0,5?

Börja med parentesen, 

Stämmer detta eller har det blivit fel någon stans?

x² = 16/1,5

     = 32/3

x  = roten ur (32/3) = sqr(32/3)

A(sqr(32/3)) = sqr(32/3)[16–0,5*32/3] = 16sqr(32/3) – (32/6)sqr(32/3)

Nu är sqr32 = sqr(16*2) = 4sqr(2), så

A_max = 64sqr(2/3)–(64/3)sqr(2/3) = 64sqr(2/3)(1–1/3) = (128/3)sqr(2/3)

sqr(2/3) = (sqr 6)/3 så

A_max = (128/9) sqr 6 

Vi fick samma svar, och det stämmer med (b).