Maximala area

Hej.

Funderade på en uppgift.
"3 sidor i en rektangel är lika med 100 cm, bestäm maximala arean som rektangeln kan ha. "

Jag vet inte hur jag ska göra men jag tror inte att jag är på fel väg heller.
Area $=x\cdot y$ detta är alltså x värdet multiplicerat med y värdet vilket beräknas med en integral eftersom att man tar funktionsvärdet multiplicerat med dx i ett intervall.

$2x+y=100$
$y=100-2x$

Med hjälp av detta så vet vi hur x och y beror av varandra och det bör inte vara svårt att få fram svaret.
Problemet är att jag inte vet vilket intervall jag ska integrera i.
$\int_{0}^{a} (100 - 2 x) d x$ (testade att köra 0 till 50 och fick 2500 cm^2.. vet ej om det är korrekt)
Men vi vet också att vi ska räkna fram den maximala arean, då tänker jag att $=x\cdot y$ ska bli så stort som möjligt, alltså att vi ska nå integralens största värde, ska man integrera på följande sätt då eller blir det bara lika med en oändligt stor integral ? $\int_{0}^{\infty} (100 - 2 x) d x$ .

Går uppgiften ens att lösa med den givna informationen?

Tacksam för hjälp.

Du tänker lite för avancerat.

En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:

$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$

Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?

Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.

AlvinB skrev:
Du tänker lite för avancerat.
En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:
$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$
Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?
Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.

Exakt! Sedan deriverar du den funktionen och sätter derivatan till noll. Vilket värde blir det då på y? Kör!!

AlvinB skrev:
Du tänker lite för avancerat.
En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:
$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$
Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?
Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.

Jag gjorde så från början men förvirrade mig själv efteråt och testade en annan väg.

Ja, det blir en triangel men det är hela tiden $x\cdot y$ när man integrerar. Med rätt intervall så skulle jag kunna få fram arean på så sätt också ellerhur? Jag hade inte rätt intervall bara.
$x\cdot y$

Tack så mycket.

bengali skrev:
AlvinB skrev:
Du tänker lite för avancerat.
En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:
$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$
Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?
Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.
Exakt! Sedan deriverar du den funktionen och sätter derivatan till noll. Vilket värde blir det då på y? Kör!!

Förlåt, vilket värde blir det på x? Sedan räknar du ut y med formeln y = 100 - 2x

bengali skrev:
Förlåt, vilket värde blir det på x? Sedan räknar du ut y med formeln y = 100 - 2x

Den maximala arean är lika med andragradsfunktionens y värde för maximipunkten. $1250 (cm^2)$

Korra skrev:
AlvinB skrev:
Du tänker lite för avancerat.
En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:
$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$
Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?
Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.
Jag gjorde så från början men förvirrade mig själv efteråt och testade en annan väg.

Ja, det blir en triangel men det är hela tiden. Med rätt intervall så skulle jag kunna få fram arean på så sätt också ellerhur? Jag hade inte rätt intervall bara.
$x\cdot y$

Tack så mycket.

Nja, faktiskt inte. Integraler är inte till så stor hjälp här. När man integrerar multiplicerar man med ett infinitesimalt litet tal oändligt många gånger i ett visst intervall. Med $A(x)=x\cdot y$ har du inget sådant.

AlvinB skrev:
Du tänker lite för avancerat.
En rektangels area kan beräknas med $x\cdot y$ . Areafunktionen blir då:
$A(x)=x\cdot y=x(100-2x)=100x-2x^2$
Vad blir det maximala värdet på $A(x)$ ?
Det du räknar ut har egentligen inget med arean för rektangeln att göra. Din integral beskriver ju nämligen arean under funktionen $y=100-2x$ vilket blir en triangel.

Denna integral hade gett rätt svar också, mitt intervall bestod av 25 st steg för långt åt höger.
$\int_{0}^{25} (100 - 2 x) d x = 1250$
Alltså symmetrilinjen för den primitiva funktionen $F (x) = 100 x - x^{2}$ till $y = 100 - 2 x$

Finns det något mönster att identifiera här?

Det viktiga är att derivera och sedan sätta derivatan till noll:

f(x) = 100x - 2 $x^{2}$

f'(x) = 100 - 4x

f'(x)=0 => 100 - 4x = 0 => x = 25

y = 100 - 2x = 100 - 2 $\times$ 25 = 50

A = 25 $\times$ 50 = 1250

bengali skrev:
Det viktiga är att derivera och sedan sätta derivatan till noll:
f(x) = 100x - 2 $x^{2}$
f'(x) = 100 - 4x
f'(x)=0 => 100 - 4x = 0 => x = 25
y = 100 - 2x = 100 - 2 $\times$ 25 = 50
A = 25 $\times$ 50 = 1250

Jag har koll på den biten.
Tack så mycket ändå, det var snällt av dig.

Svara Avbryt

Visa senaste svar