med induktion, att bevisa (x1 + x2 + · · · + xn)/ n ≥ (x1x2 · · · xn) ^(1/n)

Kan du ladda upp bild istället eller om du kan använda latexeditorn? Jag kan inte se

Välkommem till pluggakuten

KANA skrev:

visa med induktion, att (x1 + x2 + · · · + xn)/ n ≥ (x1x2 · · · xn) ^(1/n) där n = 2^k , k ≥ 1, och x1, x2, ..., xn > 0.

så här löste jag

när k=1

(x₁+x₂)/2≥(x₁+x₂)^(1/2) <=>

x₁+x₂-2$\sqrt{x1x2}$≥0 <=>

${\left(\sqrt{x1}-\sqrt{x2}\right)}^{1/2}$≥0

sen vet jag inte vad jag ska göra när n=2^(k+1) 

$\frac{\left(x_1+x_2+\dots +x_n\right)}{n}\ge$${\left(x_1\times x_2\times ...\times x_n\right)}^{\frac{1}{2}}$            $\begin{array}{l}n=2^k\\ k\ge 1\end{array}$

x_1,x₂...x_n > 0

Jag löst så

$\frac{\left(x_1+x_2\right)}{2}\ge {\left(x_1\times x_2\right)}^{\frac{1}{2}}$

$x_1+x_2-2\sqrt{x_1\times x_2}\ge 0$

${\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ge 0$

Hej Kanna och välkommen till pluggakuten!

Undrar jag om det ska vara ${\left(x_1+x_2+...+x_n\right)}^{\frac{1}{n}}$ som du först skrev eller ${\left(x_1+x_2+...+x_n\right)}^{\frac{1}{2}}$? 

oj förlåt,  jag har skriv fel i den  första gånger. den ska vara gånger mellan ${\left(x_1\times x_2\times \dots \times x_n\right)}^{\frac{1}{2}}$

Tips kolla på k=2, försök återföra det på k=1. 

Det ger dig generell metod återföra k+1 på k.