9 svar
100 visningar
Arian02 är nöjd med hjälpen
Arian02 475
Postad: 20 sep 12:29

Mekanik Stela kroppens 2D dynamik

Hej! Jag har en uppgift här som jag behöver lite hjälp med. Jag har tänkt på att det kanske går att använda sig av samband mellan tröghetsmoment och kraftmoment map masscentrumet och kanske någon form av mekanisk energi bevarande. Dock kommer jag inte längre än så och skulle uppskatta tips!

haraldfreij 1210
Postad: 20 sep 15:10 Redigerad: 20 sep 15:11

Vet absolut inte om det är den smidigaste lösningen, men jag fick ut θ˙(θ)\dot\theta(\theta) genom att ställa upp energibevarandeekvationen, precis som du föreslår. Den kinetiska energin blir lite småstökig, men positionen för en punkt på stången kan skrivas som mittpunktens position jämfört med utgångsläget plus punktens position relativt mittpunkten: x(ρ)=rθ+ρcos(θ),y(ρ)=-ρsin(θ)x(\rho)=r\theta+\rho\cos(\theta), y(\rho)=-\rho\sin(\theta), där ρ\rho är avståndet från mittpunkten till punkten. Deriverar man det för att få hastigheten, så kan man integrera upp den kinetiska energin längs stången.

För att ta fram normalkraften skulle jag nog behöva klura lite till, men antagligen kan man integrera upp centripetalkraften för stången givet den vinkelhastighet som du kommit fram till.

Arian02 475
Postad: 20 sep 15:24
haraldfreij skrev:

Vet absolut inte om det är den smidigaste lösningen, men jag fick ut θ˙(θ)\dot\theta(\theta) genom att ställa upp energibevarandeekvationen, precis som du föreslår. Den kinetiska energin blir lite småstökig, men positionen för en punkt på stången kan skrivas som mittpunktens position jämfört med utgångsläget plus punktens position relativt mittpunkten: x(ρ)=rθ+ρcos(θ),y(ρ)=-ρsin(θ)x(\rho)=r\theta+\rho\cos(\theta), y(\rho)=-\rho\sin(\theta), där ρ\rho är avståndet från mittpunkten till punkten. Deriverar man det för att få hastigheten, så kan man integrera upp den kinetiska energin längs stången.

För att ta fram normalkraften skulle jag nog behöva klura lite till, men antagligen kan man integrera upp centripetalkraften för stången givet den vinkelhastighet som du kommit fram till.

Men beror då positionen i x och y led av 2 variabler rå och theta? isåfall blir väl deriveringen och integreringen jobbig eller är jag ute och cyklar.

haraldfreij 1210
Postad: 20 sep 15:38 Redigerad: 20 sep 15:42

Det finurliga är att du bara behöver variera en av variablerna i taget. När du ska ta fram hastigheten för en punkt på stången så är ρ\rho konstant, så x˙(ρ,θ)=dxdθθ˙\dot x(\rho,\theta)=\frac{dx}{d\theta}\dot\theta. Och när du ska integrera upp energin i ett visst läge så är θ\theta konstant, så du får Ek(θ)=dEk=ρ=0rEk^(ρ,θ)dρ=ρ=0rm(x˙(ρ,θ)2+y˙(ρ,θ)2)2rdρE_k(\theta)=\int\,dE_k =\int_{\rho=0}^r\hat{E_k}(\rho,\theta)\,d\rho=\int_{\rho=0}^r\frac{m(\dot x(\rho,\theta)^2+\dot y(\rho,\theta)^2)}{2r}\,d\rho.

Arian02 475
Postad: 20 sep 15:41
haraldfreij skrev:

Det finurliga är att du bara behöver variera en av variablerna i taget. När du ska ta fram hastigheten för en punkt på stången så är ρ\rho konstant, så x˙(ρ,θ)=dxdθθ˙\dot x(\rho,\theta)=\frac{dx}{d\theta}\dot\theta. Och när du ska integrera upp energin i ett visst läge så är θ\theta konstant, så du får Ek(θ)=dEk=ρ=0rEk^(ρ,θ)dρ=ρ=0r(mrx˙(ρ,θ)2dρE_k(\theta)=\int\,dE_k =\int_{\rho=0}^r\hat{E_k}(\rho,\theta)\,d\rho=\int_{\rho=0}^r(\frac{m}{r}\frac{\dot x(\rho,\theta)}{2}\,d\rho.

Okej då fattar jag! Men jag antar att jag behöver göra samma för hastigheten i y-led?

haraldfreij 1210
Postad: 20 sep 15:41

Ja, absolut, slarvade när jag skrev. Redigerar så det blir rätt.

Arian02 475
Postad: 20 sep 15:44 Redigerad: 20 sep 15:45
haraldfreij skrev:

Ja, absolut, slarvade när jag skrev. Redigerar så det blir rätt.

Hur blir det vid lägesenergin då ifall man använder bevarande av energin. Blir väl ingen integrering då?

haraldfreij 1210
Postad: 20 sep 15:46

Lägesenergin är ju smidigare, eftersom den är linjär i höjden så kan man nöja sig med att kolla på masscentrums höjd. Men känner man sig osäker på om det är OK så är den ju lätt att integrera med.

Arian02 475
Postad: 21 sep 18:25 Redigerad: 21 sep 19:02

Hmm, kommer tyvärr fortfarande ingenstans. Använde du energilagen mellan startläge och ett godtyckligt läge för att hitta w? Och vad blev ditt slutgiltiga uttryck för kinetiska energin? Jag får ett uttryck som inte är likt facit.

D4NIEL Online 1006
Postad: 22 sep 12:03 Redigerad: 22 sep 12:07

En del av lägesenergin har övergått till rotations- och translationsenergi

12mgrsin(θ)=12I0ω2+12mv2\frac{1}{2}mgr\sin(\theta)=\frac{1}{2}I_0\omega^2+\frac{1}{2}mv^2   (1)

Där v2v^2 är masscentrums fart v·v\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}

v2=r24ω2(5-4sin(θ))v^2=\frac{r^2}{4}\omega^2(5-4\sin(\theta))    (2) 

Använd (2) för att lös ut ω\omega ur (1).

För normalkraften kan du utnyttja att N-mg=12mrω2N-mg=\frac{1}{2}mr\omega^2

Svara Avbryt
Close