Mellanliggande värden för x^2=2cosx

Avgör om ekvationen $x^{2} = 2 \cos x$ har någon lösning i intervallet $[\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}]$ .Om en lösning existerar, så behöver du inte bestämma den exakt. Ledning, skissa graferna till y=x^2 och y=2cosx. Använd satsen om mellanliggande värden.

Minsta: Sätter vi in -pi/2 i högerledet får vi -2 och vänsterledet 2 om pi/2. så lägsta värdet det kan anta är -2. Lägsta värdet som x^2 har för reela tal är 0. Så då borde det minsta värdet för funktionen existera mellan [-pi/2,0] om funktionen är kontinuerlig.

Största: x^2 växer obegränsat och gränsar till +oändligheten medan 2cosx kan störst anta pi/2=x som ger 2. Men hur får jag då vilket intervall som en lösning finns?

Har jag tänkt rätt, använder man ens största och minsta värde? Och hur får man fram det andra intervallet?

Visa spoiler

Facit: en lösning i intervallet [0,pi/2] och en i [-pi/2 , 0]

Ett enkelt sätt att visa att det måste finnas åtminstone en lösning är att definiera en funktion $f$ genom

$\displaystyle f\left(x\right)=x^2-2\cos x$

så att ekvationen blir

$\displaystyle f\left(x\right)=0$

Låt oss nu bilda derivatan av funktionen:

$\displaystyle f^\prime\left(x\right)=2x+2\sin x$

På intervallet $x\in [0,\pi/2]$ antar sinus inga negativa värden, så derivatan är växande överallt på detta intervall (och strikt växande på $x \in (0,\pi/2]$ ). Detta innebär att om vi kan hitta $x_1,x_2\in(0,\pi/2]$ , där $f\left(x_1\right)<0<f\left(x_2\right)$ , då måste det finnas minst en lösning inom det intervallet och därför också minst en lösning på hela intervallet som uppgiften anger.

Vi kan enkelt välja ett standardvärde på $x$ , t.ex. $\pi/4$ , och vi får:

$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi^2}{16}-2\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{16}-\sqrt{2} <0$

Notera sedan att

$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)>0$

Någonstans inom $[\pi/4, \pi/2]$ finns det alltså en lösning, så det betyder att det också finns en lösning inom $[-\pi/2, \pi/2]$ eftersom $[\pi/4, \pi/2]\subset [-\pi/2, \pi/2]$ .

Svara