2 svar
182 visningar
abcdefg 293
Postad: 5 jan 2020 16:58

Minsta kvadratanpassning

"Bestäm en matris A och en matris B så att lösningen X till ekvationssystemet ATAx=ATB är en minsta kvadratanpassning av följande data på formen (x-a)2c2+(y-b)2d2=1

(1,0),(2,1),(3,-1),(2,-1),(1,-3) "

 

Jag förstår inte hur jag ska kunna skriva om ekvationen. Facit säger att ekvationen måste linjäriseras med avseende på a,b,c och d, men vad innebär detta? 

Ebola 2108
Postad: 6 jan 2020 00:31 Redigerad: 6 jan 2020 00:58

a, b, c och d är dina okända du söker att bestämma i detta system. Med andra ord vill du inte att din minstakvadratfunktion ska vara icke-linjär genom att det finns termer och uttryck så som a2 eller bc2/d2 när du formulerar det överbestämda ekvationssystemet. Jag skulle göra så här:

y=a2d2+b2c2-c2d22c2b+d22c2bx2-d2ac2bx+y22b

Med andra ord är det en ganska komplicerad affär i slutändan att bestämma de enskilda variablerna men vår minstakvadratfunktion blir enkel:

f(xi, x~i, y~i, u)=u1+u2x~i+u3xi+u4y~i

Där vi har att:

x~=x2y~=y2u1=a2d2+b2c2-c2d22c2bu2=d22c2bu3=-d2ac2bu4=12b

Detta kan sedan formuleras i ett överbestämt ekvationssystem enligt:

1x~1x1y~11x~2x2y~21x~5x5y~5u1u2u3u4=y1y2y5

Om du mosar in detta i MATLAB eller liknande får du:

u1=-53u2=-23u3=73u4=-13

Detta i sin tur efter lite trixande ger värden på de konstanter vi vill ha:

a=74b=-32c1.299d1.837

Vi kan nu kontrollera hur bra anpassningen är:

Detta är acceptabelt med tanke på antalet punkter. Residualens norm är 2 så det är ganska bra.

Ebola 2108
Postad: 6 jan 2020 00:58 Redigerad: 6 jan 2020 01:01

För att vidareutveckla så kan man testa en datamängd som är lite bättre. Vi tar en förbestämd ekvation för en ellips:

(x-2)22+(y-1)24=1

Jag ritar denna i en graf och måttar en datamängd med ögonen på denna cirkel vilket ger följande tabell:

xy20.750.6122.83.43.22.8-1012.432.510-0.5

Detta ger med metoden från tidigare inlägg följande anpassning:

Synligt bättre anpassning denna gång och med en ungefärlig residualnorm på 0.25. Vi kan jämföra de bestämda konstanterna (blått) med de exakta värden från ellipsens ekvation (rött):

a1.97a=2b0.99b=1c1.39c=2d1.97d=2

Svara Avbryt
Close