Minsta värdet av f(x) (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Detta är tydligen en gammal SMT uppgift! Min lösningside är såhär:

Visa spoiler

Låt

\displaystyle g\left(x\right) = \frac{4x^2+9}{x}

då är

f(x) = g(x\sin x)

. Som vi vet sker det minsta värdet vid derivatans nollställe. Om vi tar derivatan av

f(x)

med kedjeregeln får vi att

f^\prime(x) = g^\prime(x\sin x)(\sin x + x\cos x)

Då minimeras

f

antingen när

g^\prime(x\sin x) = 0

eller

\sin x + x\cos x = 0

.

Har inte jättemycket tid att skriva, men

\sin x + x\cos x

har inga nollsällen på vårt intervall, jag kommer inte verifiera det här. Hur som helst, då vill vi veta när

g^\prime(x\sin x)

har en rot.

Vi kan ta derivatan av

g

som vanligt, där vi får att

\displaystyle g^\prime\left(x\right) = \frac{4x^{2}-9}{x^{2}}

Då är

\displaystyle g^\prime\left(x\sin x\right) = \frac{4x^{2}\sin^2 x-9}{x^{2} \sin^2x}

och då kan vi sätta det lita med

0

och lösa för

x\sin x

, vilket ger att (jag skippar algebran, lite tid att skriva!)

\displaystyle x\sin x = \pm\frac{3}2

Vi kan inte riktigt lösa detta för

x

, men det behöver vi faktiskt inte! Vi vet att

f(x)

minimeras när

x\sin x = \pm \frac 32

och vi vet även att

f(x) = g(x\sin x)

Insättning av detta värde ger oss att

f(x)

minimeras vid

g\left(\frac 32\right) = 12

Det sista kvar är att visa att

x

:et sådana att

x\sin x = 3/2

ligger i vårt intervall.

Tillägg: 13 aug 2025 23:42

Och ja, jag var lite i en brådska när jag skrev mitt svar. Jag visade inte heller att mitt värde var ett minimum, men det gör ju @Trinity2 i sitt svar.

Okej. Vad du kan 🙂

Tack

Visa spoiler

skall nog vara pi/2 efter 'och ett x>...'

👍

Det är lite för svårt för mig; jag fattar inte. Men det är kul att se hur ni löser det.

Hur kommer man fram till beslutet att, hey, jag gör om allt och delar upp det i två funktioner, och jag väljer särskilt att plocka bort sin funktionen och bildar funktionen (4x^2 + 9)/x, för då åstadkommer jag.. någonting?

Det här är en gammal tävlingsuppgift. I de allra flesta fallen innebär det att lösningen kräver något trick som ofta brukar göra lösningen rätt trevlig efter att man ser det.

Min motivation att undersöka $\dfrac{4x^2+9}{x}$ var egentligen bara ifrån att i den ursprungliga funktionen var varje $x$ tillsammans med ett $\sin x$ . Vilket gjorde så att funktionen kunde skrivas som en komposition.

På sådana uppgifter kan man ofta man testa runt med många olika idéer och trick innan man hittar rätt. Det är ofta så man till slut kommer i mål! Här skulle ett annat trick/annorlunda lösning än vanligt vara att vi inte ens behövde lösa ut $x$ , det räckte med att hitta värdet på $x\sin x$ .

Jag har inte en bättre motivation för början än att kompositionen kunde vara användbar, vilket den var, och att derivatan blev mycket lättare att beräkna än att direkt applicera alla deriveringsregler till det ursprungliga funktionsuttrycket.

Det ska tilläggas att man givetvis kan kötta kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln och bara derivera funktionen som den är för att hitta extrempunkter, men det är betydligt krångligare.