Möbiusavbildningar - varför gäller sambandet?

Det kanske kan hjälpa att skriva upp allting på proper mängdform:

$\displaystyle \partial M(G)=\{ M(x)| x\in G\; \text{och } (\forall r>0): D(M(x),r)\cap M(G)\ne \emptyset\;\text{och } D(M(x),r)\cap M(G)^c\ne \emptyset \}$

$\displaystyle M(\partial G)=\{ M(x)| x\in G\; \text{och } (\forall r>0): D(x,r)\cap G\ne \emptyset\;\text{och } D(x,r)\cap G^c\ne \emptyset \}$

Jag vet inte hur man ska använda det här men det verkar kanske rimligt att om $x$ i $G$ är en randpunkt kommer $M(x)$ vara en randpunkt i $M(G)$ också och vice versa givet att en Möbiusavbildning är tillräckligt trevlig.

Möbiusavbildningar är homeomorfismer från $\widehat{\mathbb{C}}$ till $\widehat{\mathbb{C}}$. Detta medför att:

• Om $G \subset \widehat{\mathbb{C}}$ är öppen, så är $M(G)$ också det.
• Om $F \subset \widehat{\mathbb{C}}$ är sluten, så är $M(F)$ också det.

Detta räcker för att visa att $M(\partial G) = \partial \,M(G)$, se till exempel Mathonline

Anm: Bijektionen $f: X \to Y$ kallas för homeomorfism om både $f$ och $f^{-1}$ är kontinuerliga.

En homeomorfism f är en öppen avbildning. Rd(G)=G\G (där G står för slutna höljet av G) Om G är öppen så är f(G) öppen. Vidare är G^c öppen ty G är sluten. Således f(G^c) öppen. En öppen mgd kan ej innehålla några randpunkter. f(Rd(G)) kan således ej råka vare sig f(G) eller f(G^c), varför f(Rd(G))=Rd(f(G))