Möbiusavbildningar - varför gäller sambandet?

För en möbiusavbildning $M: \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ och ett område $G\subset \hat{\mathbb{C}}$ gäller tydligen att $\displaystyle M(\partial G) = \partial M(G)$ . Är det för att $M$ helt enkelt är konform och bevarar vinklar och orientering eller beror det på något annat? Det känns ju logiskt men det känns också som att likheten kan ha motexempel.

Det kanske kan hjälpa att skriva upp allting på proper mängdform:

$\displaystyle \partial M(G)=\{ M(x)| x\in G\; \text{och } (\forall r>0): D(M(x),r)\cap M(G)\ne \emptyset\;\text{och } D(M(x),r)\cap M(G)^c\ne \emptyset \}$

$\displaystyle M(\partial G)=\{ M(x)| x\in G\; \text{och } (\forall r>0): D(x,r)\cap G\ne \emptyset\;\text{och } D(x,r)\cap G^c\ne \emptyset \}$

Jag vet inte hur man ska använda det här men det verkar kanske rimligt att om $x$ i $G$ är en randpunkt kommer $M(x)$ vara en randpunkt i $M(G)$ också och vice versa givet att en Möbiusavbildning är tillräckligt trevlig.

Möbiusavbildningar är homeomorfismer från $\widehat{\mathbb{C}}$ till $\widehat{\mathbb{C}}$ . Detta medför att:

Om $G \subset \widehat{\mathbb{C}}$ är öppen, så är $M(G)$ också det.
Om $F \subset \widehat{\mathbb{C}}$ är sluten, så är $M(F)$ också det.

Detta räcker för att visa att $M(\partial G) = \partial \,M(G)$ , se till exempel Mathonline

Anm: Bijektionen $f: X \to Y$ kallas för homeomorfism om både $f$ och $f^{-1}$ är kontinuerliga.

En homeomorfism f är en öppen avbildning. Rd(G)=G\G (där G står för slutna höljet av G) Om G är öppen så är f(G) öppen. Vidare är G^c öppen ty G är sluten. Således f(G^c) öppen. En öppen mgd kan ej innehålla några randpunkter. f(Rd(G)) kan således ej råka vare sig f(G) eller f(G^c), varför f(Rd(G))=Rd(f(G))

Svara

Visa senaste svar