MU) Gissa rötter till polynomekvation av högre grad
MU) Polynomekvationer
Min lärare sade att detta är ett ämne som tas upp bortom Ma4 och Ma5, jag lägger det därför här under Universitet.
Har ni några tips på hur man kan gissa sig till rötterna till en polynomekvation av högre grad om man inte har någon graf att ta hjälp av?
Min lärare nämnde att det finns några saker att tänka på och metoder men ville inte gå in på det då "det inte ingår i denna kurs".
Tack för hjälpen på förhand.
Om summan av koefficienterna är lika med 0 så är x = 1 ett nollställe, annars inte.
Om summan av "jämnpotenskoefficienterna" är lika med summan av "uddapotenskoefficienterna" så är x = -1 ett nollställe, annars inte.
Om polynomet saknar konstantterm så är x = 0 ett nollställe.m, annars inte.
Du kan även läsa satsen om rationella rötter soombeskriver ett annat samband mellan rötter och konstanttermen.
Som tillägg till Yngves svar:
Om det inte finns lika tydliga mönster att gå efter får man ändå oftast en uppfattning om storleksordningen på rötterna till ekvationen. En strategi är att gissa alla rötter (som är lätta att beräkna) som det skulle kunna vara, som är ungefär i rätt storleksordning.
Super Yngve! Det var precis sådana tips och trix jag sökte.
Tack naytte för tipset!
Om någon har något annat får ni gärna flika in.
@Yngve
Jag kände inte till de trixen tidigare. Är det en konsekvens av någon/några satser? Vilka i så fall?
naytte skrev:@Yngve
Jag kände inte till de trixen tidigare. Är det en konsekvens av någon/några satser? Vilka i så fall?
Jag är inte så bra på mattefornalia, det var ju typ 40 år sedan jag läste matteteori och algebra på högskolan 😀
Det finns säkert någon/några satser som ligger till grund för de två första tipsen, men jag känner inte till dem direkt.
För det tredje tipset gäller ju att om polynomet saknar konstantterm så kan man faktorisera ut ett eller flera x, vilket medför att x är en faktor i polynomet. Resten ges av nollproduktmetoden.
Det fjärde tipset beskrivs i länken.
För det tredje tipset gäller ju att om polynomet saknar konstantterm så kan man faktorisera ut ett eller flera x, vilket medför att x är en faktor i polynomet. Resten ges av nollproduktmetoden.
Jo precis, menade de egentligen de första två.
Det fjärde tipset beskrivs i länken.
Tack så mycket!
Feltänk.
Trevliga tips, som undertecknad ortoceratit inte kände till. Beviset kan inte vara så svårt: Om vi t ex sätter in x=1 i ett polynom, så får vi ju koefficientsumman och om den är 0 så är motsvarande ekvation uppfylld. De andra reglerna lär följa på samma sätt.
Yngve skrev:naytte skrev:@Yngve
Jag kände inte till de trixen tidigare. Är det en konsekvens av någon/några satser? Vilka i så fall?
Jag är inte så bra på mattefornalia, det var ju typ 40 år sedan jag läste matteteori och algebra på högskolan 😀
Det finns säkert någon/några satser som ligger till grund för de två första tipsen, men jag känner inte till dem direkt.
För det tredje tipset gäller ju att om polynomet saknar konstantterm så kan man faktorisera ut ett eller flera x, vilket medför att x är en faktor i polynomet. Resten ges av nollproduktmetoden.
Det fjärde tipset beskrivs i länken.
Säg att polynomet är
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
Sats #1
p(1)
= a_n 1^n + a_{n-1} 1^{n-1} + ... + a_1 *1 + a_0
= a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0
= 0 //enligt förutsättning//
Alltså är 1 en rot till ekvationen p(x)=0.
Sats #2
p(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + ... + a_1 *(-1) + a_0
Om vi betraktar jämn-potenserna kommer (-1)^(2k) = 1 för alla potenser och detta summerar "jämn-koefficienterna" till summan J, J≥0.
Om vi betraktar udda-potenserna kommer (-1)^(2k+1) = -1 för alla potenser och detta summerar "udda-koefficienterna" till summan -K, K≥0.
Alltså har vi att
p(-1) = J + (-K) = J-K.
Om nu, enligt förutsättningen, J=K, har vi att
p(-1) = 0
Alltså är -1 en rot till ekvationen p(x)=0.
