När ska man använda vilken kombinatorik-metod?
Hej! Jag har försökt sammanfatta alla metoder i kombinatorik (se tabellen nedan). Jag förstår hur man räknar, men jag är väldigt osäker på NÄR man ska använda vilken metod i en uppgift. (Fick lite hjälp av chatGPT med tabellformat)
Hur vet man i en uppgift när man ska använda vilken av de fyra metoderna? Finns det något sätt att tänka systematiskt kring detta?
Tacksam för all hjälp!
Tyvärr finns det igen "logisk formel" i kombinatorik. Varje frågeställning kräver sitt skräddarsydda svar. Det är därför kombinatorik är så svårt (och så sällan besvarat på PA :)). Läser du även vissa 'coachers' "CV" så står det ofta "Vissa delar av Ma5" vilket är en vacker omskrivning av "INTE kombinatork", ty i det ämnet krävs det skärpa och det är lätt att köra av vägen, även för kunniga personer.
Så, nej, det finns inga regler tyvärr. Det är det som gör det svårt. Och, du är inte ensam, alla tycker det är svårt. Har du en lärare som fullständigt briljerar under en lektion och framstår som en Gud, då skall du veta att denne har förberett sig grundligt. Leta upp ett svårare problem på nätet och ställ det som fråga, så skall du se lärarens rätta färger :) "Läreri" är ett inövat skådespel många gånger. Har du haft samma kurs i 10 år med samma lärobok kan du allt utantill. Du däremot ser det för första gången och då är det svårt.
Det som däremot är lite magiskt med kombinatoriken är att (nästan?) alla problem, oavsett hur komplexa de är, kan brytas ned till enklare problem som alla bygger på mystiska kombinationer av "välj"-funktionen och permuteringar.
Även om det sammansatta problemet kan verka omöjligt kan varje delproblem vara görbart och då har man helt plötsligt en lösning.
Som redan nämnts så finns det ingen generell metod, utan det gäller att tolka uppgiften utifrån sammanhang och utifrån vad vi vet om kombinatorik. I varje uppgift frågar vi oss
"sker valen med eller utan repetition/återlämning?", och
"spelar det någon roll i vilken ordning valen sker?"
Jag ger några exempel.
1. Du vill räkna antalet sätt du kan kombinera två elever av en klass på 27 till ett elevråd.
De två valen av elever sker då utan repetition eftersom du inte kan välja en viss elev mer än en gång. Vi kan också tänka att om vi först väljer, säg, Raphaela, så har vi plockat bort henne från mängden av möjliga val inför vårt val av nästa elev.
Ordningen spelar inte någon roll, eftersom ditt val av representanter blir detsamma om du först väljer elev A och sedan elev B, som om du först hade valt elev B och sedan elev A. Båda två av dessa val resulterar i gruppen som består av elev A och elev B. Vi får alltså samma kombination oavsett i vilken ordning vi väljer elever. Det finns kombinationer.
Valet sker utan repetition eftersom vi inte kan välja ett alternativ (en elev) mer än en gång.
2. Antag att du står i affären och ska köpa två påsar chips till festen. Det finns fem sorter att välja mellan, och det finns minst två påsar av varje sort. Hur många olika kombinationer kan vi bilda?
Vilka sorter vi väljer inte påverkar tillgängligheten av de fem sorterna, eftersom det tillräckligt med påsar på hyllorna i affären för att vi ska kunna ta vilka två påsar som helst. Därför kan vi se situationen som att vi gör två val av någon av de fem sorterna med repetition, dvs. vi tillåter att vi väljer en sort mer än en gång. Vi kan t.ex. ta två påsar grillchips, eller en påse grillchips och en påse dill & gräslök.
Ordningen spelar inte heller här någon roll, eftersom om vi först väljer grillchips och sedan dill & gräslök, får vi samma val som om vi först valt dill & gräslök och sedan grillchipsen. Det finns inget i uppgiften som skiljer "påse ett" och "påse två".
Det finns olika sätt att köpa de två chipspåsarna på.
Kombinationen sker med repetition eftersom vi tillåts välja ett alternativ upprepade gånger.
3. Ett tresiffrigt kodlås har siffrorna 1 till och med 6. Hur många olika kombinationer finns det?
Vi kan välja en siffra mer än en gång, så vårt val sker med repetition. Här spelar dock ordningen roll, eftersom exempelvis koden "141" inte är samma som "114", även fast vi i båda fallen valt två ettor och en fyra. Det finns olika kombinationer.
4. Låter säga att du från 30 medlemmar ska välja en ordförande och en sekreterare till en styrelse. Hur många sätt finns det?
Valen sker utan repetition, eftersom en och samma person inte kan vara både ordförande och sekreterare. Däremot spelar ordningen roll, för att välja någon till ordförande är inte samma sak som att välja dem till sekreterare (jämför med uppgift 1, där båda eleverna valdes till ett elevråd utan att ha några specifika roller som skiljde dem åt).
Det finns olika sätt.
