Nodanalys av en halv-vågs spännings dubblare

Hej! Jag kan inte riktigt se hur man ska göra istället, men man kan inte dela upp tiden i de två fallen du gör eftersom det skulle också kunna finnas tidsperioder där ingen av dioderna leder, eller kanske där till och med båda dioderna leder samtidigt.

Jag gjorde en simulering i ltspice med någorlunda relevanta komponentvärden. Jag har ritat in med dubbelpilar vilka tidperioder som ingen av dioderna leder ström. Det går inte att göra en matematisk modell av förloppet om man utesluter stora delar av tiden eftersom förloppet är kraftigt beroende av vad som har hänt tidigare i förloppet. Och det känns väldigt svårt att beskriva förloppet genom att dela in det i olika tidsintervall beroende på när dioderna leder ström eller inte. Enligt de funktioner som facit beskriver att lösningen ska se ut som, ingår inte ens diodströmmarna som parametrar, bara spänningarna.

Jag tror istället att en framkomlig väg kanske kan vara att sätta ett villkor på diodspänningen för D1 (som är V1) och diodspänningen för D2 (som är V2-V1) att de inte kan sjunka under (till exempel) -0.7V. 

Se vidare om Voltage doubling på Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Voltage_doubler#Greinacher_circuit

Schottkydioderna har lägre framspänningsfall än kiseldioder. 

Att vi ska skriva ekvationerna på formen $\dot x = f(x,t)$ antyder att vi ska hitta ett analytiskt. Dioder har ju inte analytiska kurvor och nu är jag kanska för mycket av en teoretiker

Nu är jag kanske för teoretiskt lagd men varför inte bara använda Schottkyekvationen rakt av som en modell för dioderna $I = I_0 (e^{V/V0} - 1)$ så att vi slipper fallanalys.

Eftersom vi inte ska lösa systemet analytiskt med hjälp av systemet så behöver vi inte oroa oss över faktumet att modellen är analytiskt klumpig i lösningssteget.Låt $I_1, V_1$ vara parametrar för diod 1 och $V_2, I_2$ vara parametrar för diod 2.

Nodanalys vid punkt 1 med teckenkonvention att strömmarna går in i noden ger oss då

(ström genom C1) + (ström genom D1) + (ström genom D2) = 0

$C_1 \cfrac{d(v_s - v_1)}{dt} + I_1 (e^{(0 - v_1)/V_1} - 1) + I_2 (e^{(v_2 - v_1)/V_2} - 1) = 0$

Nodanalys vid punkt 2 ger oss

$I_2 (e^{(v_1 - v_2)/V_2} - 1) + C_2 \cfrac{d(0 - v_1)}{dt} + R (0 - v_2) = 0$

Efter lite omstuvning får jag systemet

$\frac{dv_1}{dt} = \cfrac{dv_s}{dt} + \cfrac{I_1}{C_1}(e^{-v_1/V_1} - 1) + \cfrac{I_2}{C_1} (e^{(v_2 - v_1)/V_2} - 1)$

$\frac{dv_2}{dt} = \frac{I_2}{C_2}(e^{(v_1 - v_2)/V_2} - 1) -  \cfrac{R}{C_2}v_2$

Om jag gör numerisk lösning av systemet (kod i google colab: https://colab.research.google.com/drive/1uiaSPg6p-zznz-Vh6ZxP9kZPUGcU1yGC?usp=sharing) så får jag rimliga kurvor med spänningsförstärkning vid nod 1

men primär förstärkning på ena halvan av perioden och försvagning på andra. Oavsett om modellen är korrekt så tror jag att det verifierar min aritmetik.

Fortsättningsvis om jag gör en snabb brödbordkonstruktion med Schottky-dioder (IN5711)

med samma RC-parametrar som i simulationen (även om diodparametrarna var höftade i simulationen) så får jag i oscilloskopmjukvaran waveform ut spänningskurvor

vilka är... annorlunda, men nära nog för mitt höftande en lördagmorgon.

Jag är 100% amatör när det kommer till kretsar så ni är jättevälkomna att kritisera denna modellering.

Primärt tänker jag mig att Zenerdioder har skarpare knän vid brytspänningen än schottkydioder vilket får konsekvenser.

Ja, utan en rimlig matematisk modell av sambandet mellan ström och spänning i dioderna så känns diffekvationssystemet inte så meningsfullt att lösa (och det var en del i uppgiften att lösa med numerisk metod). Och det gäller även ytterligare information om komponentvärden på kondensatorer, resistor och utseende på Us (signalfrekvens åtminstone).  Har man inte kunskap om komponentdimensionering för att få spänningsdubblaren att verkligen fungera som en spänningdubblare (en dimensionering som knappast ingår i en teoretisk kurs på universitetsnivå, om den inte är på mycket avancerad nivå), så riskerar man att få ett resultat som har väldigt lite med den praktiska verkligheten att göra. Till exempel, SC, vet du varför din V2-spänning blev konstant noll?

Vad jag fiskar lite efter, är att uppgiftfrågan var formulerad bara på ett övergripande sätt i TS. Fanns det i den ursprungliga uppgiftformuleringen, mer information som skulle kunna vägleda fram till en bra lösning?