Olikhet med rekursiv formel

Tips: Skriv de första 4 talen I talföljd b.

Ser du något mönster?

Om jag har uppfattat uttrycket rätt så tror jag att de första fyra talen är 4, 8, 16, 32

För varje tal är svaret det föregående talet gånger 2

Ja. Man kan också lösa ekvationen (överkurs):

$b_n - 2b_{n-1} = 0$

Sätt $k=n-1$ och ansätt $b_k = \lambda^k$ för något reellt $\lambda$. Då transformeras ekvationen till

$\displaystyle \lambda^{k+1}-2\lambda^k = 0$

Detta ger lösningen $b_k = 2^k \iff b_n = 2^n$

Om vi stoppar in $n=2,3,...$ får vi mycket riktigt $4,8,16,...$. Med formeln kan du sedan lösa uppgiften.

ok, men om man inte kör överkurs, hade det gått att göra en sluten formel till det? Kan dock inte komma på hur den skulle se ut. Skillnaden ökar ju hela tiden, men den ökar jämt, då det fördubblas för varje hopp.

genom att bara fortsätta med det mönstret kunde jag ju se att det sjätte talet är det första som är över 100. för det ökar alltid med sig själv. n+1 är alltid 2(n-1)

ok, men om man inte kör överkurs, hade det gått att göra en sluten formel till det?

Ja. Du har ju talen $4,8,16,...$. Med lite mönsterseende ser vi att det är $2^n$ för $n \ge 2$. Jag ville bara visa att man kan komma fram till det utan "mönsterseende".

Jag ville bara visa att man kan komma fram till det utan "mönsterseende".

Ja, jag förstod det, tack snälla! minns du viken kurs detta var i? 

Det känns som att det blir väldigt fel att ta 2^n>100

För 2^6 är ju 64 och det är under 100 så vet inte var jag tänker tokigt...

Ja, jag förstod det, tack snälla! minns du viken kurs detta var i?

Detta hade jag som någon konstig sidogrej på universitetet men det är aldrig "för tidigt" att lära sig! Man ska inte vara rädd för att kunna för mycket!

Det känns som att det blir väldigt fel att ta 2^n>100

Varför det? I Ma1 finns det ingen metod för att lösa ekvationen $2^n = 100$ exakt men man kan "testa sig fram" för att lösa olikheten. Stoppa in värden på $n$ i ökande ordning tills du får något större än $100$. Som du själv har påpekat är $2^6 < 100$. Men vad händer då $n=7$?

det är aldrig "för tidigt" att lära sig! Man ska inte vara rädd för att kunna för mycket!

Det har du helt rätt i :) däremot ska man vara rädd för att kunna för lite hehe...

Men vad händer då n=7?

japp. har det något med  att uttrycket gäller för när n är större än eller lika med 2?

Nu hänger jag inte med. Frågan är för vilket $n$ det första elementet som är större än $100$ uppträder. Svaret är $n=7$, alltså det sjunde elementet.

Nej det är det sjätte elementet som är lika med 128.

Talföljden är ju $2^{n+1}$, inte $2^n$ (med n = 1 som första element).

Det stämmer väl inte? Din formel skulle ge följden $4,8,16,...$ men egentligen är den ju $4,4,8,16,...$. $2^n$ är en giltig formel för följden för $n\ge 2$.

Jag förstår inte riktigt varifrån 4, 4, 8, 16 osv kommer?

Den rekursiva formeln i 35b ger talen 4, 8, 16 osv (b₁ = 4, b₂ = 2b₁ = 8, b₃ = 2b₂ = 16 o.s.v.)

Samma tal fås även av b_n = 2ⁿ⁺¹ för n = 1, 2, 3 ...

Ah, så sant! Det var aritmetiken som brast. I mitt huvud var $2\cdot 4 = 4$... Du har givetvis rätt!

nu är jag lite lost. jag förstår att uttrycket var 2^n+1 och att isf skulle n=6. på så vis blir exponenten 7 och det hela stämmer. Men hur blev det fel när jag vet att det vid det sjätte talet blev 128. Detta måste ha blivit väldigt fel. Men femte talet är 64 och tar man det i kvadrat på man 128. 

KlmJan skrev:

nu är jag lite lost. jag förstår att uttrycket var 2^n+1 och att isf skulle n=6. på så vis blir exponenten 7 och det hela stämmer. Men hur blev det fel när jag vet att det vid det sjätte talet blev 128. Detta måste ha blivit väldigt fel. Men femte talet är 64 och tar man det i kvadrat på man 128. 

För att lösa uppgiften behöver du inte krångla med att skriva en sluten formel istället för den givna rekursiva formeln.

Du kan helt enkelt skriva upp de 6 första talen och konstatera att tal #6 är det första talet som är större än 100.

Men om du ändå vill skriva talföljden på sluten form så är ett förslag $b_n=2^{n+1}$, där $n\geq1$.

Du ser då att för n=6 så blir exponenten 7 och talet blir då 2⁷ = 128.

Jag tror att du bara blandade ihop exponenten n+1 med talets ordningsnummer n?

japp, det gjorde jag , tänkte att det fanns nåt samband där. men då vet jag. Tack för hjälpen till er båda!