Xrayer är nöjd med hjälpen!
Xrayer 3
Postad: 30 apr 2019 Redigerad: 30 apr 2019

Omvandla rekursiv formel till slutenformel

Jag har ett problem. Talföljdden:

(2, 7, 15, 26, 40...)

kan beskrivas medhjälp av en rekursiv formel:

a_1 = 2

a_n = a_n-1 + (3n -1).

Men jag vill kunna beskriva denna talföljd med en slutenformel. 

Jag använde mig av geogebra och matade in talföljdens värden i ett kalkylark. Geogebra räknade sedan ut en funktion:

a_n = 1.5n^2 + 0.5n

Då undrar jag, hur kan man komma fram till detta utan digitala verktyg?

Välkommen till Pluggakuten!

Om man vet (eller gissar!) att det skall bli en andragradsfunktion, kan man sätta in tre värden och få fram ett ekvationssystem som man kan lösa.

tomast80 2346
Postad: 30 apr 2019

Kan vara för avancerat för gymnasiematten, men det finns något som kallas Z-transform som är användbart för dylika uppgifter. Den intresserade kan läsa mer här:

https://ask.fxplus.ac.uk/tools/HELM/pages/workbooks_1_50_jan2008/Workbook21/21_3_z_trnsfm_n_difrnce_eqn.pdf

Laguna 4990
Postad: 30 apr 2019

När skillnaden mellan an och an-1 är ett polynom i n av grad k så är den slutna formeln ett polynom av grad k+1. Så då vet man att man ska ansätta ett andragradspolynom i det här fallet.

Det är lite som integraler. 3n ger 1,5n2, men termerna av lägst grad fungerar inte med den regeln.

Albiki 3943
Postad: 30 apr 2019

Välkommen till Pluggakuten!

Differensen av talföljdens element är 

5, 8, 11, 14, 17, ...

Differensen av denna talföljds element är

3, 3, 3, 3, ...

Xrayer 3
Postad: 30 apr 2019

Tack för svaren! blev lite klokare

Xrayer 3
Postad: 30 apr 2019

Jag testade ekvations system metoden, fungerade utmärkt. Jag använde matriser, går lite snabbare då.

 

Laguna 4990
Postad: 30 apr 2019

Man kan slippa ekvationssystem genom att plocka fram en grad i taget:

n2-termen är 1,5n2, som sagts förut. Nu subtraherar vi 1,5n2 från värdena:

2     7    15   ...

1,5  6   13,5

0,5  1    1,5

Man ser direkt att detta är 0,5n. Det hade kunnat finnas en konstant också.

Albiki 3943
Postad: 30 apr 2019 Redigerad: 30 apr 2019
Albiki skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Differensen av talföljdens element är 

5, 8, 11, 14, 17, ...

Differensen av denna talföljds element är

3, 3, 3, 3, ...

  • Differensen av talföljdens element är dn=an-an-1d_n = a_n-a_{n-1} där n1n\geq 1.
  • Differensen av differensens element är dn+1-dn=3d_{n+1}-d_{n} = 3 för alla n1.n\geq 1.

Detta betyder att

    dn+1=3+dn=3+3+dn-1=3+3++3+d1=3n+d1d_{n+1} = 3+d_{n} = 3+3+d_{n-1} = 3+3+\cdots+3+d_{1} = 3n+d_{1}

och med d1=a1-a0=2-0=2d_1 = a_1-a_0 = 2-0 = 2 blir

    dn=3(n-1)+2=3n-1 ,  n1.d_{n} = 3(n-1)+2=3n-1 \ , \quad n\geq 1.

Det ger

    an=an-1+3n-1=(an-2+3(n-1)-1)+3n-1=an-2+3{n+(n-1)}-2==a1+3{n+(n-1)++2}-(n-1)a_n=a_{n-1}+3n-1 = (a_{n-2}+3(n-1)-1)+3n-1 = a_{n-2}+3\{n+(n-1)\}-2=\ldots=a_{1}+3\{n+(n-1)+\cdots+2\}-(n-1)

och med a1=2a_1 = 2 och 2+3++n=0.5n(n+1)-12+3+\cdots+n = 0.5n(n+1)-1

blir 

    an=2+3·(0.5n(n+1)-1)-(n-1)a_{n}=2+3\cdot (0.5n(n+1)-1)-(n-1)

som kan förenklas till 

    an=n(3n+1)/2 ,  n1.a_n=n(3n+1)/2\ , \quad n\geq 1.

Kontroll: Enligt formeln är a1=1·4/2=2a_1 = 1\cdot4/2 = 2 och a2=2·7/2=7a_2 = 2\cdot 7/2 = 7 och a3=3·10/2=15a_3=3\cdot 10/2 = 15

Svara Avbryt
Close