Omvandla rekursiv formel till slutenformel

Välkommen till Pluggakuten!

Om man vet (eller gissar!) att det skall bli en andragradsfunktion, kan man sätta in tre värden och få fram ett ekvationssystem som man kan lösa.

Kan vara för avancerat för gymnasiematten, men det finns något som kallas Z-transform som är användbart för dylika uppgifter. Den intresserade kan läsa mer här:

https://ask.fxplus.ac.uk/tools/HELM/pages/workbooks_1_50_jan2008/Workbook21/21_3_z_trnsfm_n_difrnce_eqn.pdf

När skillnaden mellan a_n och a_n-1 är ett polynom i n av grad k så är den slutna formeln ett polynom av grad k+1. Så då vet man att man ska ansätta ett andragradspolynom i det här fallet.

Det är lite som integraler. 3n ger 1,5n², men termerna av lägst grad fungerar inte med den regeln.

Välkommen till Pluggakuten!

Differensen av talföljdens element är 

5, 8, 11, 14, 17, ...

Differensen av denna talföljds element är

3, 3, 3, 3, ...

Tack för svaren! blev lite klokare

Jag testade ekvations system metoden, fungerade utmärkt. Jag använde matriser, går lite snabbare då.

Man kan slippa ekvationssystem genom att plocka fram en grad i taget:

n²-termen är 1,5n², som sagts förut. Nu subtraherar vi 1,5n² från värdena:

2     7    15   ...

1,5  6   13,5

0,5  1    1,5

Man ser direkt att detta är 0,5n. Det hade kunnat finnas en konstant också.

Albiki skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Differensen av talföljdens element är 

5, 8, 11, 14, 17, ...

Differensen av denna talföljds element är

3, 3, 3, 3, ...

• Differensen av talföljdens element är $d_n = a_n-a_{n-1}$ där $n\geq 1$.
• Differensen av differensens element är $d_{n+1}-d_{n} = 3$ för alla $n\geq 1.$

Detta betyder att

    $d_{n+1} = 3+d_{n} = 3+3+d_{n-1} = 3+3+\cdots+3+d_{1} = 3n+d_{1}$

och med $d_1 = a_1-a_0 = 2-0 = 2$ blir

    $d_{n} = 3(n-1)+2=3n-1 \ , \quad n\geq 1.$

Det ger

    $a_n=a_{n-1}+3n-1 = (a_{n-2}+3(n-1)-1)+3n-1 = a_{n-2}+3\{n+(n-1)\}-2=\ldots=a_{1}+3\{n+(n-1)+\cdots+2\}-(n-1)$

och med $a_1 = 2$ och $2+3+\cdots+n = 0.5n(n+1)-1$

blir 

    $a_{n}=2+3\cdot (0.5n(n+1)-1)-(n-1)$

som kan förenklas till 

    $a_n=n(3n+1)/2\ , \quad n\geq 1.$

Kontroll: Enligt formeln är $a_1 = 1\cdot4/2 = 2$ och $a_2 = 2\cdot 7/2 = 7$ och $a_3=3\cdot 10/2 = 15$.