Onsdagsgränsvärde 1

naytte skrev:

Lösningsförslag

Vi börjar med en klasissk omskrivning:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)^{1/x}=\exp(\lim_{x\to 0} \frac{\ln\tan\left(\pi/4 +x\right)}{x})$

Eftersom direkt insättning av $x=0$ skulle ge $0/0$ inuti exponentialfunktionen ger L'Hôpitals regel att

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln\tan\left(\pi/4 +x\right)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\tan(\pi/4+x)\cos^2(\pi/4+x)}=\frac{1}{\tan(\pi/4)\cos^2(\pi/4)}=2$

Alltså:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)^{1/x}=e^2$

Gamle L'Hôpitals "strikes again". På min tid kunde man helt säkert räkna med att få bevisa denna regel på den muntliga delen om man ens tillkallade (och tillbad) denna demon från matematikhelvetet. Jag tror att detta är en "fakultetsfråga". På "Teknik" gör de enligt ovan (utan att blinka), på "Nat" med en annan metod. Men, alla vägar bär till Rom.

Det som kan få en att må lite illa över L'Hôpital är att man kan använda regeln för att bevisa att ett gränsvärde existerar i följande bemärkelse:

Om man utvärderar ett gränsvärde med L'Hôpitals regel och får ett ändligt svar existerar gränsvärdet med det värdet. Så om om frågan är "undersök om detta gränsvärde existerar" så kan man använda L'Hôpital :D