Open/closed, boundary and interioer of plane

Randpunkter finns det alltid när det finns ett begränsat intervall, men de är inte alltid inkluderade i mängden. Om randpunkterna är inkluderade, är det en sluten mängd. Om randpunkterna inte är inkluderade, är det en öppen mängd. Och om vissa randpunkter är inkluderade, men inte alla, då är mängden varken öppen eller sluten. :)

Smutstvätt skrev:

Randpunkter finns det alltid när det finns ett begränsat intervall, men de är inte alltid inkluderade i mängden. Om randpunkterna är inkluderade, är det en sluten mängd. Om randpunkterna inte är inkluderade, är det en öppen mängd. Och om vissa randpunkter är inkluderade, men inte alla, då är mängden varken öppen eller sluten. :)

Okej, så det skriver inte om randpunkterna är inkluderade i mängden. Hur brukar man skriva om randpunkterna är med?

Då blir det i detta fall $0\leq x^2+y^2\leq1$. :)

Boken har rätt – mängderna saknar randpunkter i den mening att de inte innehåller sina randpunkter. Men det betyder inte att de inte har några randpunkter, bara att de inte ingår i mängden. 

Smutstvätt skrev:

Då blir det i detta fall $0\leq x^2+y^2\leq1$. :)

Boken har rätt – mängderna saknar randpunkter i den mening att de inte innehåller sina randpunkter. Men det betyder inte att de inte har några randpunkter, bara att de inte ingår i mängden. 

Okej tack så himla då är jag med :)

Smutstvätt skrev:

…

Boken har rätt – mängderna saknar randpunkter i den mening att de inte innehåller sina randpunkter. Men det betyder inte att de inte har några randpunkter, bara att de inte ingår i mängden. 

”mängderna saknar randpunkter” – jag har aldrig tänkt på det, men det är en olycklig formulering.

Ja jo, det är olyckligt. :/

Smutstvätt skrev:

Då blir det i detta fall $0\leq x^2+y^2\leq1$. :)

Boken har rätt – mängderna saknar randpunkter i den mening att de inte innehåller sina randpunkter. Men det betyder inte att de inte har några randpunkter, bara att de inte ingår i mängden. 

Vänta lite är inte randpunkter de punkter på cirkeln $x^2+y^2=1$?

Jo, precis! Så när vi lägger ihop randen med innermängden, får vi det slutna intervallet. 

Origo är också en randpunkt, eftersom vår mängd från början utesluter denna punkt. :)

Smutstvätt skrev:

Jo, precis! Så när vi lägger ihop randen med innermängden, får vi det slutna intervallet. 

Origo är också en randpunkt, eftersom vår mängd från början utesluter denna punkt. :)

Okej, tack! Lite off topic men vet du hur man ser att $(x-z)^2+(y-z)^2=0$ är en linje och inte en punkt?

Cien skrev:

Okej, tack! Lite off topic men vet du hur man ser att $(x-z)^2+(y-z)^2=0$ är en linje och inte en punkt?

Tänk dig att z är en konstant, jag kallar den p.

(x–p)²+(y–p)² = 0² är ekvationen för en cirkel med radie 0 och medelpunkt i (p, p). Det betyder alltså punkten (p, p).

Om vi nu varierar konstanten p så kommer punkten att röra sig längs linjen x = y. Din ekvation betyder alltså linjen x–y = 0.

Nu undrar du kanske varför jag bytte från z till p. Orsaken var att om du har x, y och z i en ekvation så tänker man spontant att det handlar om det tredimensionella rummet. Då blir uppgiften krångligare, vi får x = y = z, visserligen en linje det med, men kanske utanför det du avsåg. Eller inte?

Mogens skrev:

Cien skrev:

Okej, tack! Lite off topic men vet du hur man ser att $(x-z)^2+(y-z)^2=0$ är en linje och inte en punkt?

Tänk dig att z är en konstant, jag kallar den p.

(x–p)²+(y–p)² = 0² är ekvationen för en cirkel med radie 0 och medelpunkt i (p, p). Det betyder alltså punkten (p, p).

Om vi nu varierar konstanten p så kommer punkten att röra sig längs linjen x = y. Din ekvation betyder alltså linjen x–y = 0.

Nu undrar du kanske varför jag bytte från z till p. Orsaken var att om du har x, y och z i en ekvation så tänker man spontant att det handlar om det tredimensionella rummet. Då blir uppgiften krångligare, vi får x = y = z, visserligen en linje det med, men kanske utanför det du avsåg. Eller inte?

Mycket bra! Tack