6 svar
63 visningar
Freewheeling är nöjd med hjälpen!
Freewheeling 90
Postad: 3 jun 2019 Redigerad: 3 jun 2019

Öppen boll i normerat rum

Hej,

Vi befinner oss i ett vektorrum V med en definierad norm ||·||. Om ett element x i V är givet och ett reellt tal r>0 så är min uppgift att visa att den öppna bollen med radie r centrerad kring x, definierat enligt:
B_r(x) = {y: ||y-x||<r}, är lika med x+B_r(0). Mängden x+B_r(0) definieras här enligt {x+y: ||y||<r}. Att visa att x+B_r(0) är en delmängd av B_r(x) är inga problem men när jag omvänt vill visa att B_r(x) är en delmängd av x+B_r(0) så stöter jag på lite problem. Mitt påbörjade resonemang går enligt följande:

Låt v vara ett element i B_r(x). Vi har då att ||v||=||v-x+x||≤||v-x||+||x||<r+||x||. Kan jag utifrån olikheten
||v||<||x||+r på något sätt dra slutsatsen att v kan skrivas som x+y, för något y i V som uppfyller ||y||<r? 

P.S. Sorry att jag inte infogar riktiga matematiska ekvationer, men jag får problem då (kan av nån anledning inte skriva mellanslag någonstans i inlägget efter att jag infogat en ekvation). Går det inte att skriva LATEX direkt i inlägget om man använder något kommando? D.S

Laguna 4990
Postad: 3 jun 2019 Redigerad: 3 jun 2019

Jo, du kan skriva LaTeX mellan dubbla dollartecken (alltså två före och två efter). 

Freewheeling 90
Postad: 3 jun 2019 Redigerad: 3 jun 2019

Okej, här kommer en reviderad version av mitt inlägg i trådstarten:

 

Vi befinner oss i ett vektorrum VV med en definierad norm ||·|||| \cdot ||. Om ett element xVx \in V är givet och ett reellt tal r>0r>0 så är min uppgift att visa att den öppna bollen med radie rr centrerad kring xx, definierat enligt
Br(x)={y:||y-x||<r}B_{r}(x) = \{ y: ||y-x||<r\}, är lika med x+Br(0)x+B_{r}(0). Mängden x+Br(0)x+B_r(0) definieras här som {x+y:||y||<r}\{x+y: ||y||<r\}. Att visa att x+Br(0)Br(x)x+B_r(0) \subset B_r(x) är inga problem men när jag omvänt vill visa att Br(x)x+Br(0)B_r(x) \subset x+B_r(0) så stöter jag på lite problem. Mitt påbörjade resonemang går enligt följande: Låt vBr(x)v \in B_r(x). Vi har då att ||v||=||v-x+x||||v-x||+||x||<r+||x||||v||=||v-x+x|| \leq ||v-x||+||x||<r+||x||. Kan jag utifrån olikheten ||v||<||x||+r||v||<||x||+r på något sätt dra slutsatsen att v=x+yv=x+y, för något yVy \in V som uppfyller ||y||<r||y||<r?

Albiki 3943
Postad: 3 jun 2019

Hej!

Du har skrivit v=x+(v-x)v=x+(v-x) och du utgår från att ||v-x||<r||v-x||<r och då är saken klar.

Freewheeling 90
Postad: 3 jun 2019
Albiki skrev:

Hej!

Du har skrivit v=x+(v-x)v=x+(v-x) och du utgår från att ||v-x||<r||v-x||<r och då är saken klar.

Ja, jösses, ibland är svaret mitt framför näsan på en utan att man inser det... Tack för hjälpen!

Albiki 3943
Postad: 4 jun 2019 Redigerad: 4 jun 2019

För att visa att

    x+Br(0)Br(x)x+B_r(0) \subseteq B_r(x)

plockar du vektorn x+yx+y där ||y||<r||y||<r och vill visa att  ||(x+y)-x||<r.||(x+y)-x||<r. Men detta är självklart eftersom

    (x+y)-x=y(x+y)-x = y

och det var givet att ||y||<r.||y||<r.

Albiki 3943
Postad: 4 jun 2019

Ett litet klurigare problem är att visa att Br(0)B_r(0) är en öppen mängd och därefter att Br(x)B_r(x) är en öppen mängd för varje val av vektor xx; då får du nytta av sambandet du ville visa i denna tråd.

Svara Avbryt
Close