Ordinär differentialekvation - Liouvilles ekvation

Jag vet att det finns komplexa lösningar till Liouvilles ekvation, men just här är väl frågan om det finns några reella lösningar, som geometriskt kan tolkas genom att bara veta avståndet från origo (bump).

Wolfram Alpha ger två gräsligt fula, men reella, lösningar:

$V_{1}\left(r\right)=\ln\left(\frac{4e^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}\cdot B}\cdot\left(A-2\right)^{2}\cdot r^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}-2}}{\left(\left(A-2\right)r^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}}+e^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}\cdot B}\right)^{2}}\right)$

$V_{2}\left(r\right)=\ln\left(\frac{4e^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}\cdot B}\cdot\left(A-2\right)^{2}\cdot r^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}-2}}{\left(r^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}}+\left(A-2\right)e^{\sqrt{2}\sqrt{2-A}\cdot B}\right)^{2}}\right)$

Hur man tar fram dessa framgår tyvärr inte...

Är det meningen att du ska lösa den algebraiskt? wow

AlvinB: ja, väldigt fula. WA brukar va bra på att förenkla dessutom

Ah, tack för svar. Nej jag kan inte riktigt heller se hur man ska komma fram till dom där lösningarna... Inte speciellt fina direkt, och inget jag känner att jag kan koppla till något geometriskt resonemang heller.

Satt och klurade lite till på detta idag, men utan att komma fram till hur man kan få fram dessa lösningar. Jag lyckades dock snygga till svaret lite grann. Det visar sig att båda lösningarna ovan ger samma mängd av lösningar när man låter $A$ och $B$ variera, så vi kan skriva ihop dem till en. Om man dessutom döper om $\sqrt{2}\sqrt{2-A}$ till $A$ får man den snyggare lösningen:

$V\left(r\right)=\ln\left(\frac{e^{AB}A^{4}r^{A-2}}{\left(r^{A}-\frac{A^{2}}{2}e^{AB}\right)^{2}}\right)$

AlvinB skrev:

Satt och klurade lite till på detta idag, men utan att komma fram till hur man kan få fram dessa lösningar. Jag lyckades dock snygga till svaret lite grann. Det visar sig att båda lösningarna ovan ger samma mängd av lösningar när man låter $A$ och $B$ variera, så vi kan skriva ihop dem till en. Om man dessutom döper om $\sqrt{2}\sqrt{2-A}$ till $A$ får man den snyggare lösningen:

$V\left(r\right)=\ln\left(\frac{e^{AB}A^{4}r^{A-2}}{\left(r^{A}-\frac{A^{2}}{2}e^{AB}\right)^{2}}\right)$

Ja det blev ju lite finare i alla fall. Det får nog bli komplex analys som får lösa problemet helt enkelt. Men tack för försöket :)

Jag tror jag har spenderat lite väl mycket tid på det här nu, men jag har faktiskt lyckats lösa detta (med en knuff i rätt riktning tack vare MathStackExchange). Det gick ut på att transformera ekvationen med hjälp av variabelbytet $V(x)=\ln(u(x))$ (jag använder $x$ som oberoende variabel istället för $r$) till

$u''\left(x\right)-\dfrac{u'(x)^2}{u(x)}+\dfrac{u'(x)}{x}=u\left(x\right)^2$

Att lösa denna ekvation är ganska invecklat. Jag har skrivit upp resonemanget i sin helhet på MathSE, men det gick ut på att göra några kluriga transformationer (bland annat att låta $u\left(x\right)=\frac{1}{x^2v(x)}$ och $t=\ln(x)$) som sedan kunde lösas.

Jag lyckades dessutom få lösningen på ännu enklare form. Den är

$V\left(r\right)=\ln(\dfrac{2A^2Br^{A-2}}{(Br^A-1)^2})$

för godtyckliga konstanter $A$ och $B$.

Wow, tack så hemskt mycket AlvinB!

Det var precis något sånt där jag letade efter. Hade bara hoppats att jag kunde kommit på det själv haha.

Det är några väldigt speciella substitutioner man gör, och hur ni kom på dom är helt magiskt tycker jag.

Jag vet inte om det här borde vara en separat tråd eller inte men det handlar om uppgiften i alla fall:

Hur kommer det sig att 

är en "autonomous equation"? Jag är väldigt ny till det här, och hänger inte riktigt med hur vi ser (eller visar) att det där är en "autonomous equation". 

Min tanke är att vi måste kunna skriva om det på nåt bra sätt till ett system av ode'er där varje ekvation ger en derivata som en godtycklig funktion av funktionen (läs det en gång till). Men jag vet inte riktigt hur man går tillväga i det här fallet.

En autonom ekvation saknar oberoende variabel i explicit form.

Enkelt exempel: $y'=f(y)$.

I  ditt exempel: $F(v,v',v'')=0$, där $v'=\dfrac{dv}{dt}$ osv.

dr_lund skrev:

En autonom ekvation saknar oberoende variabel i explicit form.

Enkelt exempel: $y'=f(y)$.

I  ditt exempel: $F(v,v',v'')=0$, där $v'=\dfrac{dv}{dt}$ osv.

Jaha, tack så mycket dr_lund! Då hade jag helt enkelt missförstått vad jag läste på Wikipedia. Så i ditt/mitt exempel får inte t förekomma i ekvationen?

Så vi kan helt enkelt ha typ vilken funktion som helst av "funktionen", så länge inte dess oberoende variabel förekommer i ekvationen? Typ:

$F(y,y\text{'},y\text{'}\text{'}) \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}y-\sqrt{y\text{'}y\text{'}\text{'}}+\frac{1}{y^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=0$ skulle alltså vara en autonom ekvation om exempelvis y=y(x)?

Fråga: Får det förekomma några konstanter i vänsterledet (i funktionen F)?

Moffen skrev:

dr_lund skrev:

En autonom ekvation saknar oberoende variabel i explicit form.

Enkelt exempel: $y'=f(y)$.

I  ditt exempel: $F(v,v',v'')=0$, där $v'=\dfrac{dv}{dt}$ osv.

Jaha, tack så mycket dr_lund! Då hade jag helt enkelt missförstått vad jag läste på Wikipedia. Så i ditt/mitt exempel får inte t förekomma i ekvationen?

Så vi kan helt enkelt ha typ vilken funktion som helst av "funktionen", så länge inte dess oberoende variabel förekommer i ekvationen? Typ:

$F(y,y\text{'},y\text{'}\text{'}) \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}y-\sqrt{y\text{'}y\text{'}\text{'}}+\frac{1}{y^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=0$ skulle alltså vara en autonom ekvation om exempelvis y=y(x)?

Fråga: Får det förekomma några konstanter i vänsterledet (i funktionen F)?

Ja. Det får förekomma konstanter, och vad som helst som inte beror av den oberoende variabeln ($x$ eller $t$).

Den där substitutionen $u=\frac{dv}{dt}$ är lite utav en klassiker när man har en autonom ekvation. Det gör att man kan omvandla en ekvation av andra ordningen till en ekvation av första ordningen.

Då är jag med, tack så mycket! :)