Parabel förflyttas

En parabel kan beskrivas av sambandet y = ax^2 + bx + c, där a är skilt från 0.

I detta fallet flyttas parabeln både i x- och i y-led, men utan att ändra form.

Den nya ekvationen blir därför y = -x^2 + bx + c

Bestäm nu b och c så att maximipunkten hamnar på rätt ställe. Sedan kan du hitta nollställena med pq-formeln.

Börja med att hitta symmetrilinjen.

Yngve skrev :

En parabel kan beskrivas av sambandet y = ax^2 + bx + c, där a är skilt från 0.

 

I detta fallet flyttas parabeln både i x- och i y-led, men utan att ändra form.

Den nya ekvationen blir därför y = -x^2 + bx + c

Bestäm nu b och c så att maximipunkten hamnar på rätt ställe. Sedan kan du hitta nollställena med pq-formeln.

Börja med att hitta symmetrilinjen.

Mhmm, symmetrilinjen får man fram genom att ta (x1+x2)/2 eller -p/2 i pq eller finns det ngt annat sätt?

-p/2 funkar bra här. Var noga med tecknen bara.

(Och (x1 + x2)/2 skulle också funkat om vi bara hade vetat nollställena)

Yngve skrev :

-p/2 funkar bra här. Var noga med tecknen bara.

(Och (x1 + x2)/2 skulle också funkat om vi bara hade vetat nollställena)

x(s) = b/2 då?

Japp. Och vad säger det om b?

Yngve skrev :

Japp. Och vad säger det om b?

Vet ej, osäker

Hur hänger symmetrilinjen ihop med min- och maxpunkter?

Yngve skrev :

Hur hänger symmetrilinjen ihop med min- och maxpunkter?

Skulle du kan säga, hur de hänger ihop, kan vara bra och veta till NP imon. Men det jag vet är att symmetrilinjen är x och extrempunkter är y, så om man sätter in x(s) i ekv. får man extrempunkten. Men vad annars är det?

Ja min-/maxpunkten ligger alltid på symmetrilinjen (för andragradskurvor).

Och du vet ju från uppgiften vilket x-värde maxpunkten har, eller hur?

Och du vet samtidigt att x(s) = b/2.

Kan du kombinera de två sakerna så vet du vad b är.

Yngve skrev :

Ja min-/maxpunkten ligger alltid på symmetrilinjen (för andragradskurvor).

Och du vet ju från uppgiften vilket x-värde maxpunkten har, eller hur?

Och du vet samtidigt att x(s) = b/2.

Kan du kombinera de två sakerna så vet du vad b är.

Ekvationssystem? Eller fattar ej direkt vad/hur du menar

ASDFGHJKL skrev :

Parabeln y=-x^2 flyttas i koordinatsystemet så att kurvans maximipunkt hamnar i  (2;5).

Bestäm den förflyttade parabelns nollställen.

 

Nej det är enklare än du tror.

Vilket x-värde har maxpunkten (se ovan)?

Maxpunkten ligger på symmetrilinjen x = b/2.

Vad måste då b ha för värde?

Yngve skrev :

ASDFGHJKL skrev :

Parabeln y=-x^2 flyttas i koordinatsystemet så att kurvans maximipunkt hamnar i  (2;5).

Bestäm den förflyttade parabelns nollställen.

 

Nej det är enklare än du tror.

Vilket x-värde har maxpunkten (se ovan)?

Maxpunkten ligger på symmetrilinjen x = b/2.

Vad måste då b ha för värde?

ahaaa b=4, hur kunde jag inte fatta/se det där, ska man verkligen göra så, har aldrig gjort så innan. Lärde mig nåt användbart som är enkelt

ASDFGHJKL skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

ASDFGHJKL skrev :

Parabeln y=-x^2 flyttas i koordinatsystemet så att kurvans maximipunkt hamnar i  (2;5).

Bestäm den förflyttade parabelns nollställen.

 

Nej det är enklare än du tror.

Vilket x-värde har maxpunkten (se ovan)?

Maxpunkten ligger på symmetrilinjen x = b/2.

Vad måste då b ha för värde?

ahaaa b=4, hur kunde jag inte fatta/se det där, ska man verkligen göra så, har aldrig gjort så innan. Lärde mig nåt användbart som är enkelt

Kan ej forsätta nu, vet ej hur

Bra.

Du vet att b = 4. Sätt in det i sambandet mellan x och y för din förflyttade kurva så får du att 

y = -x^2 + 4x + c.

Nu kan du bestämma c genom att du känner till en punkt på kurvan. Vilken?

Yngve skrev :

Bra.

Du vet att b = 4. Sätt in det i sambandet mellan x och y för din förflyttade kurva så får du att 

y = -x^2 + 4x + c.

Nu kan du bestämma c genom att du känner till en punkt på kurvan. Vilken?

Vet att c är en konstant, men vet inte vilken av dem jag kan ta som c och varför

Du vet att punkten (2,5) ligger på kurvan, d v s att f(2) = 5. Sätt in det i andragradsekvationen (du vet ju redan a och b), så kan du räkna fram c.

smaragdalena skrev :

Du vet att punkten (2,5) ligger på kurvan, d v s att f(2) = 5. Sätt in det i andragradsekvationen (du vet ju redan a och b), så kan du räkna fram c.

Jag får c=1,         5 = -(2)^2 + 4*2 + c   --> c=1

Ja. Bra.

Sätt in det i sambandet mellan x och y så får du att den förflyttade parabeln uppfyller sambandet y = -x^2 + 4x + 1

Nu är det bara den enkla delen kvar, nämligen att ta reda på nollställena.

Yngve skrev :

Ja. Bra.

Sätt in det i sambandet mellan x och y så får du att den förflyttade parabeln uppfyller sambandet y = -x^2 + 4x + 1

Nu är det bara den enkla delen kvar, nämligen att ta reda på nollställena.

Japp gjorde det.  Det är väl bara 0 = -x^2 + 4x+1 

ASDFGHJKL skrev :

Yngve skrev :

Nu är det bara den enkla delen kvar, nämligen att ta reda på nollställena.

Japp gjorde det.  Det är väl bara 0 = -x^2 + 4x+1 

Ja. Fick du fram rätt svar då?

I detta fall kan vi ju använda parabelekvationen:

$$\begin{gathered} y-y_E=k·(x-x_E{)}^2 \\ Där \left(x_E,y_E\right) är extrempunktens koordinat och \\ k är positivt för en leende parabel \cup med minimum punkt vid \left(x_E,y_E\right) \\ k är negativt för en lessen parabel \cap med maximum punkt \left(x_E,y_E\right) \\ sätt y lika med 0 så fås lösningarna \\ x=x_E\pm \sqrt{-\frac{y_E}{k}} \\ Krav för reella lösningar är att y_E och k har olika tecken \\ Här har vi k=-1 så vi har en lessen parabel med från början \left(x_E,y_E\right) =\left(0,0\right) \\ Nu är det bara attt byta ut \left(x_E,y_E\right) =\left(0,0\right) till \left(x_E,y_E\right) =\left(2,5\right) \\ Då får vi y-5=-(x-2{)}^2 \\ och \\ x=2\pm \sqrt{-\frac{5}{-1}} \\ Bonus: Om man har andragradsekvationen skriven på \\ y-y_E=k·(x-x_E{)}^2 så ser man direkt extrempunkten \left(x_E,y_E\right) dvs man slipper derivera. \end{gathered}$$