partiell differentialekvation.

Det finns flera sätt. Antingen sätter man $g=f'_u$ som facit och får då ekvationen:

$g'_v=g$

som kan lösas båda med integrerande faktor och som en separabel differentialekvation. När man sedan fått fram ett uttryck för $g$ stoppar man tillbaka i $g=f'_u$ och integrerar båda led med avseende på $u$. Då kan man lösa ut $f$.

Det går även att göra utan att införa en ny funktion $g$. Om du tar likheten:

$f''_{uv}=f'_u$

och integrerar båda led med avseende på $u$ får du:

$f'_v=f+\alpha(v)$

där $\alpha(v)$ är en godtycklig funktion av $v$. Detta kan du sedan lösa med integrerande faktor och direkt få ut $f$.

Jag bara undrar, jag har aldrig sett notationen $f''_{xx}$. Är inte det en konstig notation? Det bör väl vara $f''(x)$ (som står för andraderivatan av en funktion med en variabel) eller $f_{xx}$ som är derivatan av $x$ två gånger i en funktion som är flervariabel?

Vilket ämne är det som behandlas? Bara undrar, ingenting illa menat. :)

AlvinB skrev:

Det finns flera sätt. Antingen sätter man $g=f'_u$ som facit och får då ekvationen:

$g'_v=g$

som kan lösas båda med integrerande faktor och som en separabel differentialekvation. När man sedan fått fram ett uttryck för $g$ stoppar man tillbaka i $g=f'_u$ och integrerar båda led med avseende på $u$. Då kan man lösa ut $f$.

Det går även att göra utan att införa en ny funktion $g$. Om du tar likheten:

$f''_{uv}=f'_u$

och integrerar båda led med avseende på $u$ får du:

$f'_v=f+\alpha(v)$

där $\alpha(v)$ är en godtycklig funktion av $v$. Detta kan du sedan lösa med integrerande faktor och direkt få ut $f$.

ja, okej!

Hur gör jag för att lösa med integrerande faktorn? Jag fastnar där också , blir så rörigt i huvudet av alla olika variabler.

woozah skrev:

Jag bara undrar, jag har aldrig sett notationen $f''_{xx}$. Är inte det en konstig notation? Det bör väl vara $f''(x)$ (som står för andraderivatan av en funktion med en variabel) eller $f_{xx}$ som är derivatan av $x$ två gånger i en funktion som är flervariabel?

 

Vilket ämne är det som behandlas? Bara undrar, ingenting illa menat. :)

Jag läser flervariabels analys och i kursboken har de skrivit som $\frac{\partial f}{\partial x}$osv. Men jag har kollat på jonas månssons videos på youtube så jag vande mig lite vid att skriva f''xx. Också uppgiften skrevs med den första notationen men jag hade så svårt att förstå hur $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$

kunde fås till  ${\left(\frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial u}}+\frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial v}}\right)}^{2}f$

så jag skrev om uttrycken. 

Fannywi skrev:

woozah skrev:

Jag bara undrar, jag har aldrig sett notationen $f''_{xx}$. Är inte det en konstig notation? Det bör väl vara $f''(x)$ (som står för andraderivatan av en funktion med en variabel) eller $f_{xx}$ som är derivatan av $x$ två gånger i en funktion som är flervariabel?

 

Vilket ämne är det som behandlas? Bara undrar, ingenting illa menat. :)

Jag läser flervariabels analys och i kursboken har de skrivit som $\frac{\partial f}{\partial x}$osv. Men jag har kollat på jonas månssons videos på youtube så jag vande mig lite vid att skriva f''xx. Också uppgiften skrevs med den första notationen men jag hade så svårt att förstå hur $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$

kunde fås till  ${\left(\frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial u}}+\frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial v}}\right)}^{2}f$

så jag skrev om uttrycken. 

Ja se på fasen, det var något jag aldrig sett. Jag vet tyvärr inte hur då jag är väldigt ringrostig på diffar i flera dim. men lycka till i alla fall! :)

Om vi har ekvationen:

$f'_v=f+\alpha_1(v)$

(Jag låter nu $\alpha_n(v)$ beteckna en godtycklig funktion av $v$)

kan vi skriva om den som:

$f'_v-f=\alpha_1(v)$

Nu multiplicerar vi med den integrerande faktorn ($e$ upphöjt till den primitiva funktionen av $-1$, koefficienten framför $f$):

$f'_v\cdot e^{-v}-f\cdot e^{-v}=\alpha_1\left(v\right)\cdot e^{-v}$

Med produktregeln kan nu VL skrivas som derivatan av $f\cdot e^{-v}$:

$(f\cdot e^{-v})'_v=\alpha_2\left(v\right)$

Nu kan man lösa ekvationen genom att integrera båda led med avseende på $v$. Fixar du det?

AlvinB skrev:

Om vi har ekvationen:

$f'_v=f+\alpha_1(v)$

(Jag låter nu $\alpha_n(v)$ beteckna en godtycklig funktion av $v$)

kan vi skriva om den som:

$f'_v-f=\alpha_1(v)$

Nu multiplicerar vi med den integrerande faktorn ($e$ upphöjt till den primitiva funktionen av $-1$, koefficienten framför $f$):

$f'_v\cdot e^{-v}-f\cdot e^{-v}=\alpha_1\left(v\right)\cdot e^{-v}$

Med produktregeln kan nu VL skrivas som derivatan av $f\cdot e^{-v}$:

$(f\cdot e^{-v})'_v=\alpha_2\left(v\right)$

Nu kan man lösa ekvationen genom att integrera båda led med avseende på $v$. Fixar du det?

Jag förstår inte riktigt var den godtyckliga funktionen av v kommer in? menar du en godtycklig funktion av u eftersom vi deriverar med avseende på v och då blir funktion av u 0?

Den godtyckliga funktionen av $v$ kommer ju när vi integrerar båda led i ekvationen

$f''_{uv}=f'_u$

med avseende på $u$:

$\displaystyle\int f''_{uv}\ du=\int f'_u\ du$

$f'_v=f+\alpha(v)$

Eftersom derivatan av alla funktioner som enbart beror av $v$ är noll när man deriverar avseende på $u$ kommer vi att få en godtycklig funktion av $v$ när vi integrerar med avseende på $u$.

Är du med på det?

AlvinB skrev:

Den godtyckliga funktionen av $v$ kommer ju när vi integrerar båda led i ekvationen

$f''_{uv}=f'_u$

med avseende på $u$:

$\displaystyle\int f''_{uv}\ du=\int f'_u\ du$

$f'_v=f+\alpha(v)$

Eftersom derivatan av alla funktioner som enbart beror av $v$ är noll när man deriverar avseende på $u$ kommer vi att få en godtycklig funktion av $v$ när vi integrerar med avseende på $u$.

Är du med på det?

Ja det är jag med på :). Jag förstår nu att du körde varianten när man inte inför en ny funktion g.

Så då får jag $f·e^{-v}=\int \alpha \left(v\right) dv$

Vad blir denna integral om det är en godtycklig funktion?

En godtycklig funktion av $v$ integrerat med avseende på $v$ blir helt enkelt en annan godtycklig funktion av $v$.